Fisica classica/Legge di Gauss: differenze tra le versioni
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===Enunciazione del teorema di Gauss ===
L'enunciato del teorema di Gauss è che '''il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi
:<math>\Phi_S(\vec E)=\frac {\sum_{i=1}^n Q_i}{\varepsilon_o }\ </math>
Eventuali cariche all'esterno della superficie chiusa non portano alcun contributo al flusso di <math>\vec E\ </math>.
Il teorema di Gauss vale per qualunque campo vettoriale additivo tale che esistendo sorgenti puntiformi del campo stesso abbia una dipendenza in modulo proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. Il teorema di Gauss può essere applicato al campo gravitazionale.
Somma algebrica significa che se all'interno della superficie la carica totale è nulla il flusso è nullo. Se la carica è positiva il flusso è positivo, se la somma delle cariche è negativa il flusso è negativo.
Se la distribuzione di cariche è continua ( densità di volume, superficiale o di linea) alla somma algebrica si
sostituirà l'integrale.
La dimostrazione segue direttamente dalla legge di Coulomb, secondo cui ogni carica puntiforme <math>Q_i\ </math> genera un campo radiale che varia come <math>1/r_i^2\ </math> (dove <math>r_i\ </math> è la distanza dalla carica stessa).
La scelta della forma della [[Fisica_classica/Carica_elettrica|legge di Coulomb]] in cui artificialmente abbiamo introdotto come costante moltiplicativa <math>1/4\pi\ </math> dipende dal fatto che con tale definizione la legge di
Gauss in elettrostatica assume la forma semplice data dell'equazione appena data.▼
▲Gauss in elettrostatica assume la forma semplice data
La legge di Gauss è di notevole importanza in quanto consente non solo di dedurre le cariche presenti una volta che si conosca il campo elettrico; ma anche, quando la situazione fisica è dotata di particolare simmetria, consente di calcolare il campo elettrico in maniera semplice.
===Dimostrazione del Teorema di Gauss===
[[Image:GAUSS1.png|thumb|250px|right|Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa]]
Consideriamo una carica puntiforme positiva all'interno di una superficie <math>S\ </math> dello spazio (in un punto qualsiasi all'interno). Il flusso elementare del campo elettrico vale:
:<math>d\Phi( \overrightarrow{E}) = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dS} = \frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r^2}\hat r\cdot \hat n dS=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {QdS_n}{r^2}</math>
Dove <math>dS_n\ </math> è la proiezione dell'elemento di superficie <math>\overrightarrow{dS}</math> sulla sfera di raggio <math>r\ </math> e centro sulla carica <math>Q\ </math>.
L'estensione agli angoli nel piano sono gli [[w:Angolo_solido|angoli solidi]]. Si definisce angolo solido come rapporto tra l'elemento di superficie normale intercettato ed il quadrato della distanza:
<math>d \Omega=\frac {dS_n}{r^2}\ </math>
L'integrale lungo tutte le direzioni possibili in 3 dimensioni di un angolo solido vale <math>4\pi\ </math>. Da questa considerazione segue che:
:<math>d\Phi( \overrightarrow{E})=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Qd\Omega</math>
[[Image:GAUSS2.png|thumb|250px|right|Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa rientrante]]
Per calcolare il flusso totale attraverso <math>S\ </math> basta integrare su tutta la superficie <math>S\ </math>. Cioè:
<math>\Phi_S(\vec E)= \int_S d\Phi= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q
\int_{4\pi } d\Omega= \frac Q{\varepsilon_o}</math>
La superficie chiusa copre, intorno alla carica <math>Q\ </math>, l'intero angolo solido. Vediamo quindi che il flusso di <math>\overrightarrow{E}\ </math> non dipende dalla forma della superficie: se la superficie avesse delle rientranze tali rientranze verrebbero attraversato dal cono un numero dispari di volte e i vari contributi si eliderebbero due a due. Come appare nella figura a fianco.
Lo spostare la carica in un altro punto all'interno della superficie non cambierebbe in nessuna maniera il risultato. Se la carica all'interno fosse stata negativa il flusso sarebbe venuto negativo
in quanto le linee del campo sarebbero dirette verso la carica negativa all'interno.▼
▲in quanto le linee del campo sarebbero dirette verso la carica
Se sono poste <math>n\ </math> cariche <math>Q_i\ </math> all'interno della superficie <math>S\ </math> potremo scrivere:
<math>d\Phi( \overrightarrow{E}) = \overrightarrow{E} \cdot
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\overrightarrow{dS}\right)=\sum_{i=1}^n d\Phi_i</math>
Abbiamo applicato il principio di sovrapposizione dei campi generati dalle singole
cariche. Integrando su tutta la superficie abbiamo quindi che:▼
▲Integrando su tutta la superficie abbiamo quindi che:
<math>\Phi_S(\vec E)= \int_S d\Phi= \int_S \sum_{i=1}^n d\Phi_i=\sum_{i=1}^n \int d\Phi_i=
\sum_{i=1}^n \Phi_i=\frac {\sum_{i=1}^n Q_i}{\varepsilon_o }</math>
Consideriamo ora il caso di una carica <math>Q\ </math> esterna alla superficie <math>S\ </math>, così come in figura. [[Image:GAUSS3.png|thumb|250px|right|Una carica puntiforme all'esterno di una superficie chiusa rientrante]]
elementi <math>dS_1\ </math> e <math>dS_2\ </math> è in modulo eguale, ma di segno opposto;▼
▲Il contributo al flusso degli elementi <math>dS_1\ </math> e <math>dS_2\ </math> è in modulo eguale, ma di segno opposto;
I contributi delle varie intersezioni si elidono sempre due a due.▼
quindi il loro contributo si può omettere, come quello di <math>dS_3\ </math> e <math>dS_4\ </math>. In generale, partendo dal punto <math>O\ </math> e andando in qualsiasi direzione la superficie chiusa, attraverso la quale si vuole calcolare il flusso del campo elettrico, viene intersecata sempre un numero pari di volte.
▲I contributi delle varie intersezioni si elidono sempre due a due. Quindi, comunque sia fatta tale superficie, si ha sempre:
<math>\Phi_S(\vec E)=0\ </math>
Il teorema di Gauss è conseguenza diretta della legge di Coulomb, quindi non aggiunge niente rispetto a tale legge. Tale teorema permette di determinare le cariche presenti in una regione di spazio una volta che si conosca il campo elettrico. D'altro canto quando si hanno condizioni di simmetria permette di calcolare
esattamente il valore del campo.
Se le cariche sono distribuite in maniera continua ad esempio con densità di carica <math>\rho\ </math> se chiamo <math>T\ </math> il volume racchiuso dalla superficie <math>S\ </math> e con <math>d\tau\ </math> indico l'elemento di volume:
<math>\Phi_S(\vec E)=\int_S \overrightarrow{E} \cdot
\overrightarrow{dS}=\frac 1{\varepsilon_o}\int_T\rho d\tau</math>
===Casi con particolari simmetria===
Alcuni esempi mostrano l'applicazione del teorema di Gauss, in genere gli esempi sono classificati in funzione delle proprietà di simmetria. La simmetria sferica è quella che permette maggior numero di esempi:
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===Il teorema di Gauss in forma differenziale===
Spesso tale teorema in forma locale viene chiamata la prima equazione di Maxwell. Notiamo come tale espressione locale sia soggetta a delle limitazioni al contrario della forma integrale appena data. La dimostrazione si basa su un teorema di matematica il[[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza| teorema della divergenza]].
Tale teorema dice che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa <math>S\ </math> è pari all'integrale di volume della divergenza del campo stesso calcolato sul volume <math>T\ </math> racchiuso da <math>S\ </math>.
La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare che misura in qualche maniera la variazione spaziale del campo stesso. La sua definizione è la seguente, dato un campo vettoriale <math>\vec A\ </math> e un operatore vettoriale, definito con <math>\vec \nabla\ </math>:
<math>\vec \nabla=\left(\frac {\partial}{\partial x}\vec i+ \frac {\partial}{\partial y}\vec j+\frac
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<math>\int_S \vec{E} \cdot \vec{dS}=\int_T \vec \nabla \cdot \vec E dT=\frac 1{\varepsilon_o}
\int_T\rho dT </math>
Dall'eguaglianza nell'ultima espressione dei due integrali qualunque sia il volume di integrazione <math>T\ </math> segue che gli integrandi coincidono, quindi:
<math>\vec \nabla \cdot \vec E=\frac {\rho}{\varepsilon_o}\ </math>
Questa espressione detta equazione in forma locale è formalmente equivalente alla legge di Gauss, da cui è stata ricavata con l'ipotesi implicita che nel dominio considerato (il volume T) il campo elettrico sia derivabile in ogni punto. La limitazione quindi della forma locale è proprio nei casi in cui si ha discontinuità del campo elettrico. Ad esempio nella separazione tra due mezzi, caso non del vuoto, il campo elettrico ha in genere una discontinuità. Tale limitazione non comporta nessun problema se uno divide il dominio in sottodomini in cui tale discontinuità è rimossa. Il problema riguarderà di imporre le condizioni di raccordo tra i vari domini. Il teorema di Gauss in forma locale collega la divergenza del campo elettrico alla densità volumetrica di carica. Tale forma mal si adatta a considerare casi in cui la carica sia distribuita su superfici o lungo linee.
[[Fisica_classica/Potenziale_elettrico| Argomento seguente: Potenziale elettrico]]
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