Esercizi di matematica per le superiori/Studio di funzioni: differenze tra le versioni
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#: <math>\lim_{x\to\infty}{\left(\frac{x^2+4x+7}{x}\right)} = \lim_{x\to\infty}{\frac{x^2(1+\not\frac{4}{x}+\not\frac{7}{x^{2}})}{x}} = \lim_{x\to\infty}{\frac{x^2}{x}} = \lim_{x\to\infty}{x} = \infty</math>
#: Non esiste quindi asintoto obliquo
; Derivata prima
Deriviamo la funzione. Ricordiamo che il dominio della funzione è tutto R.
: <math>f'(x) = 2x + 4</math>
Il dominio della funzione derivata è ancora R.
; Studio dei punti stazionari
Ricaviamo ora i punti stazionari della funzione. Poniamo, quindi, la derivata uguale a zero.
: <math>2x + 4 = 0</math>
: <math>x = -2</math>
In x = -2 la derivata è nulla, quindi probabilmente c'è un massimo o un minimo relativo
; Segno della derivata
Dato che la derivata prima determina anche la monotonia della funzione, studiamo il segno della derivata per capire quando essa cresce e quando decresce. In questo passaggio possiamo anche capire se x = -2 è un flesso.
: <math>2x + 4 > 0</math>
: <math>x > -2</math>
La funzione decresce prima di -2 e cresce successivamente. In -2 c'è quindi un punto di flesso, precisamente è il punto di minimo relativo.
<!-- Io sono arrivato qui allo studio di funzioni -->
}}
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Procediamo ora con la determinazione degli asintoti orizzontali, verticali ed obliqui.
# Asintoto orizzontale:
#: <math>\lim_{x\to\infty}{\frac{\log_2{(x-1)} }{x-2}}
# Asintoto verticale:
#: Calcoliamo ora il limite della funzione quando tende ai valori esclusi dal dominio, quindi quando tende a 2
#: <math>\lim_{x\to2}{\frac{\log_2{(x-1)} }{x-2}} \stackrel{\left[ \frac{0}{0} \right]}{=}
#: <math>\lim_{x\to2}{\frac{\log_2{(x-2 +1)} }{x-2}}</math>
#: <math>\lim_{x\to2}{\frac{1}{\ln{2}}}</math>
#: Non esiste quindi asintoto verticale.
# Asintoto obliqui:
; Derivata prima
Procediamo con il calcolo della derivata prima della funzione.
#: <math>f'(x) = \frac{D [\log_2{(x-1)}] \cdot (x-2) - \log_2{(x-1)}}{(x-2)^{2}}</math>
#: <math>f'(x) = \frac{ \frac{1}{(x-2)\ln{2}} \cdot (x-2) - \log_2{(x-1)}}{(x-2)^{2}}</math>
#: <math>f'(x) = \frac{1 - \log_2{(x-1)}\ln{2}}{\ln{2}(x-2)^{2}}</math>
Il dominio della funzione derivata coincide con il dominio della funzione iniziale.
<!-- Io sono arrivato qui allo studio di funzioni -->
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