Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il vuoto/Le leggi del vuoto: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica
cambio avanzamento a 100%, modifiche
Riga 1:
{{Micro e nanotecnologia}}
 
==Le leggi del vuoto==
Per un gas rarefatto a temperatura ambiente l'equazione che descrive il sistema all'equilibrio termodinamico è la [[w:Equazione_di_stato_dei_gas_perfetti|equazione dei gas perfetti]]:
{{Equazione|eq=<math>P \cdot V = n \cdot R \cdot T</math>|id=1}}
Riga 7:
La base microscopica della equazione di stato dei gas perfetti è [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|la teoria cinetica dei gas]]. Tale teoria nel caso dei gas rarefatti in equilibrio termodinamico è una buona approssimazione. Il vuoto è sicuramente un gas rarefatto, mentre la condizione di equilibrio termodinamico rappresenta a volte una ipotesi non realistica, come vedremo nel seguito.
 
Si puntualizza che il legame tra la grandezza microscopica <math>k_B\ </math> ( [[w:Costante_di_Boltzmann|costante di Boltzmann]]) e quella macroscopica <math>R\ </math> è dato dalla [[w:Numero_di_Avogadro|Costante di Avogadro]] <math>N_A=6,022\cdot 10^{23}\ mol^{-1}\ </math>, mediante la relazione:
Il risultato che riguarda più da vicino i sistemi da vuoto è la distanza media tra urti successivi detta anche cammino libero medio <math>\lambda\ </math> che vale:
 
{{equazione|eq=<math>\lambda =\frac {k_B T}{\sqrt 2 P \pi d^2}</math>|id=2}}
<math>R=k_BN_A\ </math>
Dove <math>k_B\ </math> è la [[w:Costante_di_Boltzmann|costante di Boltzmann]] mentre <math>d\ </math> è il diametro delle molecole, la teoria più completa considera la [[w:sezione_d'urto|sezione d'urto]] tra le molecole interagenti al posto di <math>\pi d^2\ </math>. La connessione tra la grandezza microscopica <math>k_B\ </math> e quella macroscopica <math>R\ </math> viene fatta dalla costante di Avogadro <math>N_A=6,022\cdot 10^{23}\ mol^{-1}\ </math>:
 
:<math>R=k_BN_A\ </math>
=== Composizione del vuoto ===
 
L’aria escludendo l’acqua ha una composizione per il 78% di [[w:Azoto|Azoto]] (<math>N_2\ </math>), il 21% di [[w:Ossigeno|Ossigeno]] (<math>O_2\ </math>) e l’0.9% di [[w:Argon|Argon]] (Ar). La quantità di acqua dipende dalle condizioni di umidità e temperatura, tipicamente varia tra il 0.6% (aria secca) al 6,5% (aria molto umida e alta temperatura) al variare dell'acqua le altre componenti si riducono percentualmente. Il vuoto non è altro che un gas più o meno rarefatto, ma in genere a causa delle pompe da vuoto utilizzate e delle linee da vuoto ha una composizione molto diversa da quella dell’aria. Se analizziamo la composizione del vuoto, mediante un analizzatore di gas residuo (ad esempio uno spettrometro di massa), ci si accorge come di norma il gas dominante è l’acqua. Mentre dopo avere evaporato materiali che assorbono i gas residui (''getter''), quali il Titanio, la composizione appare dominata dall’idrogeno, la causa è la decomposizione dell’acqua da parte del getter. Misurare la pressione o misurare le densità in un gas rarefatto è la stessa cosa, in quanto le due grandezze sono direttamente proporzionali a parità di temperatura.Infatti,potendo sfruttare l'equazione dei gas rarefatti scritta all'inizio, si ha che:
 
:<math>pV=nRT\ </math>
 
e, considerando che il numero di moli n è pari al rapporto tra la massa del gas e il peso molare entrambi espressi in grammi, si ha:
 
:<math>pV=mRT/M\ </math>
 
dove M è proprio il peso molare.
 
Riscrivendo la formula utilizzando la definizione della densità (<math>\rho=m/V\ </math>),si ha che:
 
:<math>p=\rho RT/M\ </math>
 
L'equazione manifesta la proporzionalità tra pressione e densità a parità di temperatura.
 
=== Il cammino libero medio===
La distanza media tra urti successivi viene detta anche cammino libero medio ed ha una importanza fondamentale per la caratterizzazione delle proprietà del vuoto.
Per introdurre il concetto consideriamo un caso semplificato un gas con una densità numerica <math>n_N\ </math> (numero di molecole per unità di volume) ed in cui siano contenute molecole identiche di diametro <math>d\ </math>.
 
Consideriamo un cilindro di lunghezza <math>l\ </math> e raggio <math>d\ </math> in cui sia contenuta una sola molecola. Imponiamo che la densità numerica di molecole in tale cilindro sia pari a <math>n_N\ </math>:
 
<math>\frac 1{l \pi d^2}=n_M\ </math>
 
A causa della scelta del diametro del cilindro una molecola che percorra il cilindro sicuramente incontrerà una molecola. Ma la molecola da urtare si potrebbe trovare anche prima della fine del percorso, aggiungendo tali considerazioni e facendo una analisi statistica, risulta che il cammino che mediamente dovrà compiere una molecola per scontrarsi con un'altra è <math>\lambda=l/\sqrt(2)\ </math>, quindi sostituendo:
 
<math>\frac 1{\sqrt {2}\lambda \pi d^2}=n_N\ </math>
 
Segue quindi che il cammino libero medio vale:
{{Equazione|eq=<math>\lambda =\frac 1{\sqrt{2} \pi d^2 n_M}\ </math>|id=2}}
La teoria più precisa introduce una grandezza diversa la [[w:sezione_d'urto|sezione d'urto]] tra le molecole interagenti al posto di <math>\pi d^2\ </math>. La sezione d'urto ha egualmente la dimensione di una superficie, ma esprime meglio lo regione di interazione tra le molecole (che potrebbero essere diverse) e tiene conto dell'eventualità del fatto che le particelle interagenti non siano delle semplici sfere, ma oggetti con una struttura complessa. Ma mentre quando si parla dei plasmi tale concetto è necessario, approfondirlo qui rappresenta una curiosità accademica.
Dalla equazione di stato dei gas, fatto da molecole identiche di diametro <math>d\ </math>:
 
<math>P \cdot V = nN_A k_B T= Nk_B T\ </math>
 
dove <math>N\ </math> è il numero totale di molecole presenti nel volume V. Quindi:
 
<math>n_N=\frac NV=\frac P{k_B T}\ </math>
 
Quindi il cammino libero medio in funzione della pressione e temperatura vale:
{{equazione|eq=<math>\lambda =\frac {k_B T}{\sqrt 2 P \pi d^2}</math>|id=3}}
''Esempio: Nel caso dell'Azoto che ha un diametro di circa 0.3 nm, alla pressione di 1 Pa (100 mbar), che corrisponde a ben <math>n_N=2.5\cdot 10^{14}\ </math> molecole in un <math>cm^3\ </math> il cammino libero medio vale 66 mm.''
 
===Numero Di Knudsen===
Se le dimensioni del recipiente in cui si fa il vuoto sono molto maggiori del cammino libero medio il vuoto è detto viscoso, in quanto nella dinamica delle molecole gli urti delle molecole tra di loro sono il meccanismo dominante, mentre gli urti con le pareti sono poco frequenti. Tale comportamento determina la [[w:Viscosit%C3%A0| viscosità]] del gas, una grandezza macroscopica misurabile. Per dare un ordine di grandezza per pressioni superiori a qualche centinaio di Pascal si è in genere in regime viscoso (per recipienti di dimensioni macroscopiche di qualche mm). Infatti a temperatura ambiente, per le molecole presenti nell'aria il cammino libero medio a tali pressione è di qualche µm.
 
Al contrario al diminuire della pressione il cammino libero medio aumenta fino a raggiungere le dimensioni del contenitore qualsiasi esso sia, in tali condizioni gli urti tra le molecole diventano altamente improbabili, ementre gli urti con le pareti del contenitore diventano il meccanismo dinamico dominante. Tale regime in cui le molecole si comportano come particelle isolate viene chiamato regime molecolare; a pressioni basse si è sempre in tale regime.
 
Si introduce per quantificare lai cosadue diversi regimi di vuoto il cosidetto [[w:numero_di_Knudsen|numero di Knudsen]], simbolo <math>Kn\ </math> definito come rapporto tra il cammino libero medio e la dimensione <math>D\ </math> del recipiente in cui è contenuto il gas, tale dimensione se si tratta di una conduttura di sezione circolare coincide con il suo diametro.
 
:<math>Kn=\frac {\lambda}D\ </math>
Line 22 ⟶ 69:
Se tale grandezza adimensionale è molto maggiore di 1 si è in regime molecolare, mentre al contrario se <math>Kn\ll 1\ </math> si è in regime viscoso.
 
Mentre il comportamento del vuoto nel regime viscoso è molto simile al comportamento dei [[w:fluido|fluidi]] che si osservano nella vita di tutti i giorni (acqua, aria eccetera), infatti è semplicemente un fluido compressibile che segue le leggi della meccanica dei fluidi ben sviluppata e studiata. Al contrario nel regime molecoalre il comportamento del vuoto discosta di molto dal comportamento dei fluidi normali, ricorda molto di più il comportamento di punti materiali isolati che rimbalzano in maniera più o meno casuale con le pareti del recipiente in cui sono contenuti.
La pressione si misura in Pascal (Pa), per quanto tale unità di misura sia quella decisa universalmente e stabilita dalla legge, purtroppo non è ancora entrata nella pratica corrente. Il Pascal rappresenta la pressione limite di una pompa rotativa e la pressione tipica a cui avvengono i processi di deposizione mediante sputtering. Sono molto diffuse altre unità quali il bar (che un multiplo del Pa, con un valore simile alla pressione atmosferica), l’Atmosfera, il torr o millimetro di mercurio, gli psi (pound per square inch). Di seguito per comodità è riportata una tabella che permette le conversioni
 
<math>1\ Pa</math> equivale a :
* <math>10^{-2}\ mbar</math>
* <math>9.87\ 10^{-6}\ Atm</math>
* <math>7.5\ 10^{-3}\ Torr</math>
* <math>7.5\ mTorr</math>
* <math>1.46\ 10^{-4}\ psi</math>
 
 
=== Impianto da vuoto===
Line 43 ⟶ 82:
Con maggiore rigore la quantità di materia da portare via nell'unità di tempo dovrebbero essere il numero di molecole presenti derivate rispetto al tempo. Quindi dall'[[w:Equazione_di_stato_dei_gas_perfetti|equazione dei gas perfetti]], dovrebbe essere pari alla derivata rispetto al tempo di <math>\frac {pV}T\ </math>. Se però le temperature del sistema da vuoto sono costanti nel tempo come spesso accade, risulta più semplice definire <math>Q\ </math> nella maniera anzidetta.
 
La grandezza <math>\dot V\ </math>, la derivata temporale del volume, nel linguaggio del vuoto viene spesso denominata velocità di aspirazione e viene spesso indicata con il simbolo <math>S\ </math> (dall'inglese speed).
 
In un sistema da vuoto vari processi concorrono alla creazione del carico <math>Q\ </math>. Se il sistema si trova ad una pressione prossima a quella atmosferica per portarlo sotto vuoto è proprio il gas aspirato che concorre al carico. In genere fino a pressioni dell'ordine del Pascal questa è la causa principale di carico, cioè il gas contenuto nella camera da vuoto che viene rimosso via via. Al diminuire della pressione vi sono altre cause che aumentano il carico, principalmente il degassamento delle pareti e l'evaporazione dei materiali ad elevata tensione di vapore.Questi dueIl fenomenicarico sonodovuto spiegatialla facilmente,senzatensione entraredi nellovapore viene spiegato specifico, dal principio dell'equilibrio mobile di [[w:Principio_di_Le_Châtelier|Le Chatelier-Braun]], che stabilisce che variando uno dei parametri che caratterizzano un sistema all'equilibrio, il sistema reagisce nella direzione che si oppone al disturbo. Nel caso trattato del sistema da vuoto,si ha che aspirando con la pompa si provoca diminuzione di pressione nella camera da vuoto, il sistema si oppone al disturbo facendo evaporare i materiali che son presenti sulle superfici di quest'ultima, e quindi,in gergo, tenta di riportare la pressione al valore precedente il disturbo (causato dalla pompa). Infine Il degassamento che rappresenta un problema molto importante è trattato a parte nel seguito. Tra le concause che concorrono al carico vi sono anche i processi stessitecnologici che avvengono nella camera da vuoto ad esempio per la crescita di film aggiungonotermico caricoviene fuso un materiale e portato ad una temeratura tale che la sua tensione di vapore sia una valore sufficientemente elevato.
 
Il processo di degassamento è particolare dei sistemi da vuoto ed è dovuto,entrando nel dettaglio, o ad adsorbimento fisico (con poca energia di legame) di gas sulla superficie del sistema o da legami con maggiore energia potenziale quindi di natura più tipica della chimica. Ossidi o nitruri sulle superfici rappresentano un tipico esempio di tali legami. In genere ad ogni temperatura e pressione esiste un equilibrio dinamico tra il processo di adsorbimento dei gas presenti nel sistema (che contribuisce alla diminuzione di pressione del sistema) ed il processo opposto il desorbimento che contribuisce al carico. In genere se portiamo un sistema da vuoto a pressione atmosferica le pareti adsorbono i gas presenti (in maniera diversa a seconda delle loro proprietà chimiche) che vengono rilasciati nel processo di desorbimento.
 
Per entrare più in dettaglio per quanto riguarda il degassamento possiamo dire che durante i processi tecnologici il materiale trattato viene esposto a diversi processi e viene bombardato da particelle (ad esempio Argon). Se l' energia di legame è molto bassa vuol dire che il legame non è troppo forte e quindi il materiale che stiamo trattando può, dopo un certo tempo t, rilasciare una molecola andando ad alterare il vuoto presente nella camera. Questo appena descritto è il fenomeno di adsorbimento. Un altro fenomeno molto importante è l' assorbimento ossia ci sono alcuni gas come He, idrogeno che sono molto leggeri e possono entrare nella struttura solida di una sostanza. Ad esempio il metallo può assorbire questi gas leggeri. Se la struttura della camera da vuoto fosse fatta di metallo allora il metallo, avendo assorbito questi gas leggeri, dopo un certo tempo t riemette i gas che ha assorbito. Il degassamento è una delle maggiori cause di "inquinamento" di una camera da vuoto.
 
Se infine nel sistema da vuoto vi sono perdite verso la pressione esterna, tali perdite rappresentano una ulteriore componente del carico che deve essere aspirato dal sistema per mantenerlo sotto vuoto. La localizzazione di eventuali perdite verso l'esterno è un problema importante negli impianti da vuoto esistono degli strumenti opportuni chiamati cercafughe (in inglese ''leak detectors'') che utilizzano la combinazione della [[w:Spettrometria_di_massa|spettrometria di massa]] e un gas raro nell'atmosfera, ma con elevata permeabilità, quali l'[[w:Elio|Elio]].
 
=== Composizione del vuoto ===
 
=== Degassamento===
L’aria escludendo l’acqua ha una composizione per il 78% di azoto (<math>N_2\ </math>), il 21% di ossigeno (<math>O_2\ </math>) e l’0.9% di Argon (A). La quantità di acqua dipende dalle condizioni di umidità e temperatura, tipicamente varia tra il 0.6% (aria secca) al 6,5% (aria molto umida e alta temperatura) al variare dell'acqua le altre componenti si riducono percentualmente. Il vuoto non è altro che un gas più o meno rarefatto, ma in genere a causa delle pompe da vuoto utilizzate e delle linee da vuoto ha una composizione molto diversa da quella dell’aria. Se analizziamo la composizione del vuoto, mediante un analizzatore di gas residuo (ad esempio uno spettrometro di massa), ci si accorge come di norma il gas dominante è l’acqua. Mentre dopo avere evaporato materiali che assorbono i gas residui (''getter''), quali il Titanio, la composizione appare dominata dall’idrogeno, la causa è la decomposizione dell’acqua da parte del getter. Misurare la pressione o misurare le densità in un gas rarefatto è la stessa cosa, in quanto le due grandezze sono direttamente proporzionali a parità di temperatura.Infatti,potendo sfruttare l'equazione dei gas rarefatti scritta all'inizio, si ha che:
Vale la pena porre attenzione su questo fenomeno che rappresenta spesso il collo di bottiglia nel raggiungimento di condizioni di alto vuoto e a maggior ragione per vuoti più spinti.
Il processo di degassamento è un fenomeno particolare che avviene sotto vuoto ed è dovuto,entrando nel dettaglio, o ad adsorbimento fisico (con poca energia di legame) di gas sulla superficie del sistema o da legami con maggiore energia di legame quindi di natura più tipica della chimica. Ossidi o nitruri sulle superfici rappresentano un tipico esempio di tali legami. In genere ad ogni temperatura e pressione esiste un equilibrio dinamico tra il processo di adsorbimento dei gas presenti nel sistema (che contribuisce alla diminuzione di pressione del sistema) ed il processo opposto il desorbimento che contribuisce al carico. In genere se portiamo un sistema da vuoto a pressione atmosferica le pareti adsorbono i gas presenti (in maniera diversa a seconda delle loro proprietà chimiche) che vengono rilasciati nel processo successivo di desorbimento.
 
Per quanto riguarda il degassamento possiamo dire che durante i processi tecnologici il materiale trattato viene esposto a diversi processi e viene bombardato da particelle (ad esempio Argon). Se l' energia di legame è molto bassa vuol dire che il legame non è troppo forte e quindi il materiale che stiamo trattando può, dopo un certo tempo t, rilasciare una molecola andando ad alterare il vuoto presente nella camera. Questo appena descritto è il fenomeno di adsorbimento. Un altro fenomeno con caratteristiche diverse è l' assorbimento che riguarda i solidi nel loro insieme, non solo la superficie (in inglese si direbbe il ''bulk''). Questo fenomeno riguarda solo alcuni gas, la cui molecola ha dimensioni molto piccole, come l'Elio, l'Idrogeno e l'Ossido di carbonio,che possono entrare nella struttura solida e diffondere al loro interno. Il solido si comporta come una spugna per questi gas. La quantità di gas assorbita può raggiungere valori considerevoli, fino a un atomo assorbto per ogni atomo di solido. Quando il sistema viene messo in condizioni di vuoto lentamente questi atomi assorbiti diffondono indietro e rappresentano materiale che deve essere asportato da sistemi di pompaggio.
:<math>pV=nRT\ </math>
 
Molte molecole presenti nell'aria, e in maniera marcata l'acqua, vengono facilmente [[w:adsorbimento|adsorbite]] sulla superficie delle parti presenti nel sistema. Il precesso contrario all'adsorbimento si chiama desorbimento. Alcune molecole hanno una energia di legame molto piccola (< 0.3 eV) e quindi facilmente vengono rimosse dal sistema da vuoto (a causa anche della agitazione termica). Altre molecole hanno un legame più forte e quindi richiedono tempi molto lunghi per essere rimosse dalla superfice. Quando un sistema da vuoto viene portato a pressione atmosferica le molecole di gas formano una fase assorbita su tutte le superfici. Per questa ragione invece di portare il sistema in aria, viene spesso fatto un rientro del solo azoto, che avendo una energia di legame con l'acciao inossidabile di 0.12 eV, permette un rapido degassamento. L'acciao inossidabile è in genere il principale componente degli impianti da vuoto. Quando si passa da pressione atmosferica a <math>10^{-2}\ mbar</math>, operazione che richiede pochi minuti il degassamento non rappresenta un problema. Al di sotto di questo vuoto il degassamento diventa il fenomeno principale che rallenta il raggiungimento del vuoto limite. In regime molecolare si ha la complicazione ulteriore che le molecole desorbite da una parete possono attaccarsi ad una altra parete rallentando il processo di rimozione. Il degassamento non è solo prodotto dal desorbimento, ma anche dalla diffusione nel solido di gas leggeri come idrogeno, elio, ossido di carbonio che sono dissolti facilemnet nelle'interno dei solidi che costituiscono la camera da vuoto. Un centimetro cubo di acciao inossidabile può contenere un volume di gas paragonabile a quello che occuperebbe il gas stesso a pressione atmosferica.
e, considerando che il numero di moli n è pari al rapporto tra la massa del gas e il peso molare entrambi espressi in grammi, si ha:
 
:<math>pV=mRT/M\ </math>
 
dove M è proprio il peso molare.
 
Riscrivendo la formula utilizzando la definizione della densità (<math>\rho=m/V\ </math>),si ha che:
 
:<math>p=\rho RT/M\ </math>
 
L'equazione manifesta la proporzionalità tra pressione e densità a parità di temperatura.
=== Degassamento===
Vale la pena porre attenzione su questo fenomeno che rappresenta spesso il collo di bottiglia nel raggiungimento di condizioni di alto vuoto. Molte molecole presenti nell'aria, e in maniera marcata l'acqua, vengono facilmente [[w:adsorbimento|adsorbite]] sulla superficie delle parti presenti nel sistema. Il precesso contrario all'adsorbimento si chiama desorbimento. Alcune molecole hanno una energia di legame molto piccola (< 0.3 eV) e quindi facilmente vengono rimosse dal sistema da vuoto (a causa anche della agitazione termica). Altre molecole hanno un legame più forte e quindi richiedono tempi molto lunghi per essere rimosse dalla superfice. Quando un sistema da vuoto viene portato a pressione atmosferica le molecole di gas formano una fase assorbita su tutte le superfici. Per questa ragione invece di portare il sistema in aria, viene spesso fatto un rientro del solo azoto, che avendo una energia di legame con l'acciao inossidabile di 0.12 eV, permette un rapido degassamento. L'acciao inossidabile è in genere il principale componente degli impianti da vuoto. Quando si passa da pressione atmosferica a <math>10^{-2}\ mbar</math>, operazione che richiede pochi minuti il degassamento non rappresenta un problema. Al di sotto di questo vuoto il degassamento diventa il fenomeno principale che rallenta il raggiungimento del vuoto limite. In regime molecolare si ha la complicazione ulteriore che le molecole desorbite da una parete possono attaccarsi ad una altra parete rallentando il processo di rimozione. Il degassamento non è solo prodotto dal desorbimento, ma anche dalla diffusione nel solido di gas leggeri come idrogeno, elio, ossido di carbonio che sono dissolti facilemnet nelle'interno dei solidi che costituiscono la camera da vuoto. Un centimetro cubo di acciao inossidabile può contenere un volume di gas paragonabile a quello che occuperebbe il gas stesso a pressione atmosferica.
 
In pratica durante il tempo di raggiungimento del vuoto limite, che è dell'ordine di varie ore, la principale sorgente di gas sono i gas che vengono desorbiti dalle superfici della camera. La quantità di gas desorbito può essere quantizzato mediante la quantità <math>Q_G\ </math> per unità di superficie, dopo poche ore di pompaggio. un avlore di <math>10^{-8}\ </math> fino a <math>10^{-9}\ </math> mbar l/s per <math>cm^2\ </math> è un valore tipico. tale valre può scendere di 2 ordini di grandezza se viene fatto un riscaldamento a <math>200\ ^oC</math> per alcune ore, pratica comune nei sistemi di UHV.
Line 80 ⟶ 105:
La pressione nel sistema <math>p_1\ </math> è sempre maggiore della pressione all'imboccatura della pompa da vuoto <math>p_2\ </math>, infatti per fluire ''Q'' dal sistema tenuto sotto vuoto alla pompa, vi è sempre una tubazione, più o meno complicata (in genere con valvole e raccordi) che permette la aspirazione da parte della pompa da vuoto del carico che entra nel sistema a cui si aggiunge quello delle tubazioni. Viene quindi definita una quantità che permette di caratterizzare la limitazione alla velocità di aspirazione della pompa da vuoto sul sistema da vuoto da tale connessione, la conduttanza ''C''.
 
Maggiore è la conduttanza maggiore è la quantità di materia che fluisce in una conduttura nell'unità di tempo. Quindi la conoscenza della conduttanza è di fondamentale importanza nel calcolo dei tempi caratteristici di svuotamento degli impianti da vuoto. Il nome conduttanza è preso a prestito dall'elettromagnetismoelettrodinamica nei conduttori. Infatti la definizione di conduttanza
segue dalla formula:
{{equazione|eq=<math>Q=C (p_1-p_2)\ </math>|id=34}}
che è simile alla [[w:Legge_di_Ohm|legge di Ohm]], se viene fatta l'equivalenza tra <math>p_1-p_2\ </math> e la differenza di potenziale e tra <math>Q\ </math> e la corrente.
 
In genere la conduttanza è una proprietà essenzialmente geometrica del condotto in regime viscoso, mentre dipende anche dalla composizione chimica del gas trasportato in regime molecolare.
 
Analogamente alla conduttanza della legge di Ohm, la conduttanza di una serie di condotti di conduttanza <math>C_i\ </math> vale:
{{equazione|eq=<math>1/C_{serie}=\sum_i 1/C_i\ </math>|id=45}}
Notare che tale regola abbia un valore non sempre preciso, in quanto se il passaggio tra un
condotto ed un altro avviene con tubazioni di diametro differente, in maniera brusca, la conduttanza equivalente risulta inferiore a quella ricavabile dalla formula 45.
 
Mentre la conduttanza di condotti in parallelo vale:
{{equazione|eq=<math>C_{parallelo}=\sum_i C_i\ </math>|id=56}}
 
Un caso semplice da trattare è quello di un tubo di sezione circolare costante e di lunghezza finita. In tale caso definiamo con D
il Diametro del tubo (in metricentimetri) e con L la sua lunghezza (sempre in cm). Nel '''regime viscoso'''
bisogna distinguere due comportamenti diversi. Nel caso in cui il rapporto tra il carico ed il diametro D sia maggiore di un valore semiempirico:
:<math>\frac QD>2500\ Pa\ m^{2}s^{-1} </math>
Line 102 ⟶ 127:
Il gas è in regime turbolento (in quanto il [[w:Numero_di_Reynolds|numero di Reynolds]] è grande). In tale regime non esiste una formula semplice per calcolare la conduttanza, la quale è in ogni caso grande a causa della pressione media elevata. In tale situazione la conduttanza non rappresenta una limitazione reale al trasporto di materia.
 
In condizioni di medio vuoto, quindi per carichi inferiori e in [[w:Regime_laminare|regime laminare]], la conduttanza deriva dalla cosidetta [[w:/Legge_di_Poiseuille|legge di Poiseuille]].
ben studiata nella meccanica dei fluidi.
Tale legge nel caso di <math>L\ll D\ </math> usando la viscosità dell'aria si può scrivere approssimativamente come:
 
{{equazione|eq=<math>C_L=1.4\cdot 10^{3} \frac {D^4}L\left( \frac {p_1+p_2}2 \right)\ m^3/s\qquad L\gg D</math>|id=6}}
Tale legge nel caso di <math>L\ll D\ </math> permette di ricavare una espressione approssimata della conduttanza: usando la viscosità dell'aria si può scrivere approssimativamente come:
{{equazione|eq=<math>C_L=136\cdot 10^{4} \frac {D^4}L\left( \frac {p_1+p_2}2 \right)\ l/s\qquad L\gg D</math>|id=7}}
Si noti come si sia usato il Sistema Internazionale.
 
Con <math>p_1\ </math> e <math>p_2\ </math> le pressioni all'estremo in mbar.
 
 
La conduttanza è tanto maggiore quindi quanto maggiore è la pressione media nel condotto. Si noti come la conduttanza non dipenda dal tipo di gas presente, in quanto essendo piccolo il numero di Knudsen gli urti tra molecola e molecola siano prevalenti. La viscosità del gas gioca un ruolo importante.
 
Il moto delle molecole è prevalentemente lungo il condotto e quindi il controflusso che è presente in regime molecolare è di fatto trascurabile. In realtà la legge di Poiseuille dipende dalla viscosità, che dipende dal gas presente, quindi la formula è approssimata.
 
''Esempio: un condotto lungo 1 m=100 cm, di diametro 1 cm, in cui la pressione inferiore (vicino alla pompa) vale 1 mbar mentre l'altro estremo sta a 2 mbar. Il cammino libero medio è inferore ad 1 mm, quindi si è in regime viscoso. La costante di Knudsen vale meno di 0.1. Quindi sostituendo tali valori nell'equazione 7 si ha una conduttanza di 20000 l/s''
Nel regime molecolare la traiettoria delle particelle ha un comportamento dettato dagli urti con il condotto e non sono rari urti che riportano addiritura indietro le particelle, specialmente se la lunghezza del condotto è breve. La velocità quadratica media (proporzionale alla temperatura assoluta e inversamente alla massa delle molecole che compongono il gas) gioca un ruolo non trascurabile.
 
Nel regime molecolare la traiettoria delle particelle ha un comportamento dettato dagli urti con il condotto e, non sono rari, anche urti che riportano indietro le particelle, specialmente se la lunghezza del condotto è breve. La velocità quadratica media (proporzionale alla temperatura assoluta e inversamente alla massa delle molecole che compongono il gas) gioca un ruolo non trascurabile.
Nel '''regime molecolare''', la conduttanza ha un valore indipendente dalla pressione e sempre minore che nel regime viscoso, una formula semiempirica ricavabile dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas| teoria cinetica dei gas]] è:
 
Nel '''regime molecolare''', la conduttanza ha un valore indipendente dalla pressione, ma sempre minore che nel regime viscoso. Questo implica che via via che diminuisce il vuoto sia sempre più difficile raggiungere vuoti elevati in quanto le conduttanze limitano la velocità di pompaggio. Una formula semiempirica può essere ricavata dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas| teoria cinetica dei gas]]:
{{equazione|eq=<math>C_L=10^{3} \frac {D^3}{6L}\sqrt {\frac {2\pi R T}M}\frac 1{1+4D/(3L)}\ m^3/s </math>|id=7}}
 
{{equazione|eq=<math>C_L=\frac {D^3}{6L}\sqrt {\frac {2\pi R T}M}\frac 1{1+4L/4D}\ l/s </math>|id=8}}
Dove <math>M\ </math> è la massa delle molecole che compongono il gas in kg/mole.
 
Dove <math>M\ </math> è la massa delle molecole che compongono il gas in g/mole (cioè l'Idrogeno molecolare ha una massa di 2 g). L è la lunghezza del condotto e D il suo diametro. Si nota che in questo caso la conduttanza dipende sia dalla temepratura che dalle speci gassose presenti.
Il caso limite si ha quando la lunghezza tende a zero e quindi si tratta di un foro su una parete di area <math>A\ </math> in questo caso la equazione 7 si riduce a:
 
Il caso limite si ha quando la lunghezza tende a zero e quindi si tratta di un foro su una parete di area <math>A\ </math> in questo caso la equazione 8 si riduce a:
{{equazione|eq=<math>C_A=10^{3}\sqrt{\frac {RT}{2\pi M}}A\ m^3/s </math>|id=8}}
 
{{equazione|eq=<math>C_A=\sqrt{\frac {RT}{2\pi M}}A\ l/s </math>|id=9}}
 
''DIMOSTRAZIONE della conduttanza in regime molecolare (caso limite)''.
Line 134 ⟶ 165:
<math>Q=k_BT \dot N=\sqrt{\frac {RT}{2\pi M}}A(p_1-p_2)\ </math>
 
Quindi la conduttanza si scrive come la (89).
In regime molecolare per poter aspirare tanta materia ci vogliono dei fori molto grandi.
Non basta avere dei condotti di breve lunghezza.
 
 
 
Line 148 ⟶ 179:
Tale grandezza che ha le dimensioni di un volume nell'unità di tempo viene chiamata velocità di aspirazione della pompa e in genere indicata con <math>S\ </math>. Tale grandezza fisica ha le stesse dimensioni della conduttanza, ma rappresenta fisicamente un qualcosa di diverso, infatti la conduttanza determina la perdita di carico in un condotto ed è quindi un elemento passivo, la velocità di aspirazione è la misura di un processo attivo. <math>S\ </math> è sempre maggiore di 0, dipende da <math>P\ </math> e si definisce come range di utilizzo l'intervallo di pressioni per cui il valore <math>S\ </math> sia significatamente maggiore di 0. Ad esempio nella figura accanto si ha che il range di funzionamento della pompa è tra <math>0.001\ Pa </math> e <math>10^5\ Pa </math>, in tale intervallo di pressioni la velocità di pompaggio si mantiene ben al di sopra dello 0.
 
===Velocità effettiva di pompaggio di una pompa da vuoto ===
L'utilizzo di una pompa da vuoto in serie con varie condutture e valvole di conduttanza caratteristica <math>C\ </math>, permette di definire la velocità effettiva di aspirazione come:
Immaginiamo di avere una pompa con velocità di aspirazione <math>S^*\ </math> e pressione alla bocca di <math>p^*\ </math>. Attraverso un condotto di conduttanza C viene connesso ad una camera da vuoto a pressione p.
 
Vogliamo sapere quale sia l'effettiva velocità di pompaggio della pompa. Cioè la qualtità di gas che viene aspirata alla bocca della camera da vuoto. Facciamo il ragionamento in maniera pedante.
{{equazione|eq=<math>S_e=\frac {SC}{S+C} </math>|id=9}}
A causa della conservazione della materia avremo che:
 
<math>Q=S^*p^*=S_ep\ </math>
 
ma anche:
 
<math>Q=S^*p*=C(p-p^*)\ </math>
 
dalla prima:
 
<math>p=p^*\frac {S^*}{S_e}\ </math>
 
Sostituita nella seconda.
 
<math>S^*p^*=Cp*(\frac {S^*}{S_e}-1)\ </math>
 
da cui:
 
{{equazione|eq=<math>S_e=\frac {SC}{S+C} </math>|id=10}}
 
Da tale equazione appare evidente che il valore della conduttanza vada dimensionato in maniera opportuna a seconda della velocità di aspirazione della pompa stessa.
 
=== Sistema da vuoto complessivo===
L'equazione differenziale di un impianto da vuoto, caratterizzato da un volume <math>V\ </math>, una pressione istantanea <math>P\ </math>, un carico <math>Q\ </math> ed una pompa da vuoto che abbia una velocità effettiva di aspirazione <math>S_e\ </math> è:
La fotografia di quello che succede ad un sistema da vuoto di volume <math>V\ </math>in cui il carico totale entrante sia <math>Q_T\ </math>, la pressione istantanea <math>P\ </math>, ed una pompa da vuoto che abbia una velocità effettiva di aspirazione <math>S\ </math> (tenendo conto della impedenza della linea che la collega) tra il tempo t e t+dt, la pressione diminuisce di dP a causa dellaa aspirazione della pompa che viene frenata dall' ingresso di gas. da un punto di vista matematico la conservazione della materia si esprime come:
 
{{equazione|eq=<math>Q-VdP=S_eP+VSPdt-Q_Tdt\frac {dP}{dt} </math>|id=10}}
 
Tale equazione può facilmente trasformarsi in una equazione differenziale:
Da tale equazione si ricava che il vuoto limite in condizioni stazionarie <math>dP/dt=0\ </math> vale <math>P_l=Q/S_e\ </math>, che viene raggiunto in maniera asintotica con una costante di tempo pari a <math>V/S_e\ </math>. Tale ragionamento è molto grossolano in quanto considera <math>S_e\ </math> costante, mentre come si è detto essa è una funzione della pressione.
 
{{equazione|eq=<math>Q=SP+V\frac {dP}{dt} </math>|id=11}}
 
Da tale equazione si ricava che il vuoto limite in condizioni stazionarie <math>dP/dt=0\ </math> vale <math>P_l=Q/S\ </math>, che viene raggiunto in maniera asintotica con una costante di tempo pari a <math>V/S\ </math>. Tale ragionamento è molto grossolano in quanto considera <math>S\ </math> costante, mentre come si è detto essa è una funzione della pressione. Inoltre <math>Q_T\ </math> è una funzione del tempo in quanto il degassamento delle pareti diminuisce in maniera sensibile con il tempo. In ogni tali equazioni permettono di individuare in maniera apporosimativa sia il tempo di pompaggio, il vuoto limite e dimensionare le parti del sistema da vuoto.
 
== Bibliografia ==
Line 167 ⟶ 223:
[[Categoria:Micro e nanotecnologia|Le leggi del vuoto]]
 
 
{{Avanzamento|100%|13 aprile 2009}}
{{Avanzamento|100%|6 marzo 2010}}