Matematica per le superiori/Derivate: differenze tra le versioni
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La derivata rappresenta la tendenza della funzione (in un punto o in un intervallo), cioè la sua tendenza ad aumentare o diminuire. Maggiore è la derivata, più il valore di f(x) tende ad aumentare. Se la derivata è negativa, f(x) tende a calare. Storicamente, il concetto di derivata di una funzione è nato dalla ricerca di una soluzione a due diversi problemi, conosciuti oggi come interpretazioni del concetto di derivata.
== Introduzione ==
==Interpretazione geometrica==▼
Per determinare la retta tangente ad una conica basta porre a sistema l'equazione del fascio di rette in un punto, l'equazione della conica e porre che il discriminante della equazione risolutiva sia nulla:
: <math>\left\{ \begin{array}{ll}
y - y_0 = m ( x - x_0) \\
y = ax^2 + bx + c\\
\Delta = 0
\end{array}\right.</math>
Il problema sorge quando l'equazione è di grado maggiore al secondo, poiché la regola del discriminante non è più valida. Occorre quindi trovare un altro metodo per trovare la retta tangente ad un punto.
▲== Interpretazione geometrica ==
Il problema di carattere geometrico riguarda le ricerca dell'equazione della tangente al grafico della curva <math> y = f(x)</math> in un punto. Questo problema si riduce alla sola determinazione del coefficiente angolare della tangente cercata.
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===Teorema di De L' Hopital===
Il teorema afferma che: considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e continue in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e derivabili nei suoi punti interni e tali che <math>\forall x \in I_C \Rightarrow g(x)\ne 0</math> e <math>g'(x) \ne 0</math>, che <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{0}{0}</math> oppure <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{\infty}{\infty}</math> e che esista <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math> allora: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \rightarrow c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>
Il teorema fornisce una condizione sufficiente ma non necessria, cioè può non esistere il limite del rapporto delle derivate pur esistendo il limite del rapporto fra le funzioni.
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