Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 9-16: differenze tra le versioni

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Traccio la linea BC e segno il punto A fuori da essa dal quale bisogna tracciare una linea perpendicolare alla linea BC. Per eseguire questo passaggio dobbiamo allungare la linea BC da ciascun vertice, e sopra al punto "a" descrivo un cerchio di grandezza tale che formi con la retta "bc" due punti "d" ed "f".

 

Questo perchè i lati "ad" ed "af" sono raggi della stessa circonferenza , il lato "ah" è in comune ad entrambi i triangoli e l'angolo "a" di un triangolo è uguale all'angolo "a" dell'altro. Per la quarta proposizione, la base "dh" sarà congruente alla base "hf" e l'angolo "ahd" è congruente all'angolo "ahf", quindi entrambi sono retti (per l'ottava definizione) e la linea "ah" sarà perpendicolare alla linea "bc" ( per la nona definizione).

 

Dato il punto A segnato fuori dalla linea BC dobbiamo tracciare una perpendicolare sulla linea BC dunque per fare questa cosa, allunghiamo il segmento BC da tutte e due le parti. In seguito facciamo una circonferenza di centro A che taglia la linea BC in due punti D e F. In seguito congiungiamo il punto A con i punti D e F con due segmenti di nome AD e AF, poi dividiamo l'angolo DAF in due parti uguali con la linea AH, quindi questo segmento è perpendicolare alla linea BC, per dimostrarlo prendiamo in considerazione i triangoli (retti) ADH e AFH. Consideriamo poi i lati AD e AH del triangolo ADH, i quali sono congruenti ai lati AF e AH del triangolo AFH, perché le due linee AD e AF sono raggi della circonferenza. Il lato AH è in comune ad entrambi e l'angolo A di un triangolo è congruente all'angolo A dell'altro per il quarto criterio di'isomentria. La base DH è uguale alla basa HF e l'angolo AHD all'angolo AHF, quindi entrambi sono retti, per l'ottava e per la nona definizione la linea AH è perpendicolare alla linea BC.