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Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 9-16: differenze tra le versioni

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Versione 1
Sia il ponto .a. signato fora della linea .b.c. dalqual bisogni condure una perpendicolare alla detta linea .b.c. adonque per esequir tal cosa allongarò la linea .b.c. (8) in l'una è l'altra parte quanto bisogna, & sopra al ponto .a. descriuerò un cerchio di tal grandezza che seghi la detta linea .b.c. in dui ponti ilqual pongo sia ilcerchio .d.e.f.g. ilquale seghi la linea .b.c. nelli dui ponti .d. & .f. dapoi congiongerò il ponto .a. con li dui ponti. d. & .f. con le due linee .a.d. & .a.f. & dapoi diuiderò l'angolo .d.a.f. in due parti equali (9) con la linea .a.h. (per la nona propositione) hor dico che la linea .a.h. e perpendicolare sopra la linea .b.c. & per dimostrar questo intendo li duoi triangoli a.d.h. & .a.f.h. & perche li duoi lati .a.d. & .a.h. del triangolo .a.d.h. sono equali alli duoi lati .a.f. & .a.h. del triangolo .a.f.h. perche le due linee .a.d. [pag. 25r] & .a.f. uengono dal centro alla circonferentia, lo lato .a.h. è commune ad ambidoi, e l'angolo .a. dell'uno è equale all'angolo .a. dell'altro, & per la quarta propositione, la basa .d.h. serà equale alla basa .h.f. & l'angolo .a.h.d. all'angolo .a.h.f. per laqual cosa l'uno & l'altro serà retto, per la ottaua diffinitione, & per la nona, la linea .a.h. serà perpendicolare sopra la linea .b.c. che è il proposito.
Traccio la linea BC e segno il punto A fuori da essa dal quale bisogna tracciare una linea perpendicolare alla linea BC. Per eseguire questo passaggio dobbiamo allungare la linea BC da ciascun vertice, e sopra al punto "a" descrivo un cerchio di grandezza tale che formi con la retta "bc" due punti "d" ed "f".
 
Le due linee "ad" ed "af" divideranno l'angolo "daf" in due parti uguali con la linea "ah"( per la nona proposizione).
 
Così si può dire che la linea "ah" è perpendicolare sopra la linea "bc" perchè i due triangoli "ahd" ed "ahf" sono congruenti. Ciò si spiega perchè i lati "ad" ed "ah" del triangolo "adh" sono congruenti ai lati "ah" ed "af" del triangolo "afh".
 
Questo perchè i lati "ad" ed "af" sono raggi della stessa circonferenza , il lato "ah" è in comune ad entrambi i triangoli e l'angolo "a" di un triangolo è uguale all'angolo "a" dell'altro. Per la quarta proposizione, la base "dh" sarà congruente alla base "hf" e l'angolo "ahd" è congruente all'angolo "ahf", quindi entrambi sono retti (per l'ottava definizione) e la linea "ah" sarà perpendicolare alla linea "bc" ( per la nona definizione).
 
Versione 2
Dato il punto A segnato fuori dalla linea BC dobbiamo tracciare una perpendicolare sulla linea BC dunque per fare questa cosa, allunghiamo il segmento BC da tutte e due le parti. In seguito facciamo una circonferenza di centro A che taglia la linea BC in due punti D e F. In seguito congiungiamo il punto A con i punti D e F con due segmenti di nome AD e AF, poi dividiamo l'angolo DAF in due parti uguali con la linea AH, quindi questo segmento è perpendicolare alla linea BC, per dimostrarlo prendiamo in considerazione i triangoli (retti) ADH e AFH. Consideriamo poi i lati AD e AH del triangolo ADH, i quali sono congruenti ai lati AF e AH del triangolo AFH, perché le due linee AD e AF sono raggi della circonferenza. Il lato AH è in comune ad entrambi e l'angolo A di un triangolo è congruente all'angolo A dell'altro per il quarto criterio di'isomentria. La base DH è uguale alla basa HF e l'angolo AHD all'angolo AHF, quindi entrambi sono retti, per l'ottava e per la nona definizione la linea AH è perpendicolare alla linea BC.
 
 
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