Matematica per le superiori/Radicali: differenze tra le versioni

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== Razionalizzazione ==
Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire trasformarla in una equivalente, che non abbia radicali al denominatore. Per razionalizzare il denominatore, si applica la proprietà invariantiva, moltiplicando il numeratore e il denominatore per un opportuno fattore, detto '''fattore razionalizzante''', che al denominatore dia una quantità priva di radici.
 
Si possono presentare 5 casi, che ora andremo ad analizzare.
 
'''1° caso''': Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta solo un fattore radicale quadratico: <math>\frac{A}{\sqrt[]{B}}</math><br>
Per razionalizzare si moltiplicano i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è <math>\sqrt[]{B}</math>.<br>
 
<math>\frac{A}{\sqrt[]{B}} = \frac{A \sqrt[]{B}}{\sqrt[]{B} \sqrt[]{B}} = \frac{A \sqrt[]{B}}{(\sqrt[]{B})^2} = \frac{A \sqrt[]{B}}{B}</math><br>
 
 
'''2° caso''': Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta solo un fattore radicale non quadratico: <math>\frac{A}{\sqrt[n]{B^m}}</math> e <math>m < n.</math><br>
Per razionalizzare si moltiplicano i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è <math>\sqrt[n]{B^{n - m}}</math>.
 
<math>\frac{A}{\sqrt[n]{B^m}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n - m}}}{\sqrt[n]{B^m} \sqrt[n]{B^{n - m}}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n - m}}}{\sqrt[n]{B^{m + n - m}}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n - m}}}{\sqrt[n]{B^n}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n - m}}}{B}</math>
 
'''3° caso''': Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma o la differenza tra due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico: <math>\frac{A}{\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C}}</math> (N.B. in questo esempio c'è la somma di due radicali, ma potrebbe esserci anche la somma (o differenza) tra un radicale quadratico e un numero intero o un numero razionale.)<br>
Per razionalizzare si moltiplicano entrambi i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è la differenza se compare la somma al denominatore, oppure la somma se compare la differenza al denominatore.
 
Somma: <math>\frac{A}{\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C}} = \frac{A (\sqrt[]{B} - \sqrt[]{C})}{(\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C})(\sqrt[]{B} - \sqrt[]{C})} = \frac{A (\sqrt[]{B} - \sqrt[]{C})}{(\sqrt[]{B})^2 - (\sqrt[]{C})^2} = \frac{A (\sqrt[]{B} - \sqrt[]{C})}{B - C}</math><br>
 
Differenza: <math>\frac{A}{\sqrt[]{B} - \sqrt[]{C}} = \frac{A (\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C})}{(\sqrt[]{B} - \sqrt[]{C})(\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C})} = \frac{A (\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C})}{(\sqrt[]{B})^2 - (\sqrt[]{C})^2} = \frac{A (\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C})}{B - C}</math><br>
 
 
'''4° caso''': Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma algebrica di tre o più termini, dei quali almeno due sono radicali quadratici: <math>\frac{A}{\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C} - \sqrt[]{D}}</math> <br>
Per razionalizzare si riconduce al caso precente. Vediamo come.
 
<math>\frac{A}{\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C} - \sqrt[]{D}} = \frac{A}{(\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C}) - \sqrt[]{D}} = \frac{A [(\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C}) + \sqrt[]{D}]}{[(\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C}) - \sqrt[]{D}][(\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C}) + \sqrt[]{D}]} = \frac{A (\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C} + \sqrt[]{D})}{(\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C})^2 - (\sqrt[]{D})^2} =</math><br><math>= \frac{A (\sqrt[]{B} + \sqrt[]{C} + \sqrt[]{D})}{B + 2\sqrt[]{BC} + C - D}</math> e da questo punto si continua come nel caso precedente.<br>
 
 
'''5° caso''': Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma o la differenza tra due termini, dei quali almeno uno è un radicale cubico: <math>\frac{A}{\sqrt[3]{B} + \sqrt[3]{C}}</math> (N.B. in questo esempio c'è la somma di due radicali, ma potrebbe esserci anche la somma (o differenza) tra un radicale quadratico e un numero intero o un numero razionale.)<br>
Per razionalizzare si moltiplicano entrambi i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è il falso quadrato del denominatore (con prodotto semplice con il segno + se compare la differenza, con il prodotto semplice - se compare la differenza).
 
Somma: <math>\frac{A}{\sqrt[3]{B} + \sqrt[3]{C}} = \frac{A (\sqrt[3]{B^2} - \sqrt[3]{BC} + \sqrt[3]{C^2})}{(\sqrt[3]{B} + \sqrt[3]{C})(\sqrt[3]{B^2} - \sqrt[3]{BC} + \sqrt[3]{C^2})} = \frac{A (\sqrt[3]{B^2} - \sqrt[3]{BC} + \sqrt[3]{C^2})}{(\sqrt[3]{B})^3 + (\sqrt[3]{C})^3} = \frac{A (\sqrt[3]{B^2} - \sqrt[3]{BC} + \sqrt[3]{C^2})}{B + C}</math><br>
 
Differenza: <math>\frac{A}{\sqrt[3]{B} - \sqrt[3]{C}} = \frac{A (\sqrt[3]{B^2} + \sqrt[3]{BC} + \sqrt[3]{C^2})}{(\sqrt[3]{B} - \sqrt[3]{C})(\sqrt[3]{B^2} + \sqrt[3]{BC} + \sqrt[3]{C^2})} = \frac{A (\sqrt[3]{B^2} + \sqrt[3]{BC} + \sqrt[3]{C^2})}{(\sqrt[3]{B})^3 - (\sqrt[3]{C})^3} = \frac{A (\sqrt[3]{B^2} + \sqrt[3]{BC} + \sqrt[3]{C^2})}{B - C}</math><br><br>
 
 
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