Matematica per le superiori/Integrali: differenze tra le versioni

 

Consideriamo una funzione <math>y = f(x)</math> in un intervallo in cui esso è continua.

 

Per rispondere a domande di questo tipo è nato l' integrale indefinito.

 

Si definisce integrale indefinito della funzione <math>y = f(x)</math> in <math>dx</math>, e si indica con <math>\int f(x) dx</math>, l' insieme di tutte le funzioni primitive di <math>y = f(x)</math>, cioè tutte quelle funzioni <math>y = F(x) + C</math> la cui derivata vale <math>f(x) \Rightarrow F(x): F'(x) = f(x)</math>. Perciò, si può considerare l' integrale indefinito come l' operazione inversa della derivata, infatti:

:<math>D \left( \int f(x) dx \right) = f(x)</math>.

:<math>y = F(x) + C, \forall C \in \mathbb{R}</math>.

 

Le primitive <math>F(x) + C</math> della funzione integranda <math>f(x)</math> rappresentano, geometricamente, una famiglia di curve generata dalla traslazione verticale (secondo un vettore di modulo <math>C</math> e direzione verticale) di una qualsiasi di esse. Se ne deduce facilmente che due curve, di cui una sia la traslazione dell'altra, hanno la stessa derivata se e solo se la traslazione è verticale.

 

Ogni funzione continua in un intervallo ammette, nell'intervallo stesso, una famiglia di primitive, cioè è integrabile in quell'intervallo. Perciò, la continuità è condizione sufficiente per l'integrazione della funzione stessa.

 

L' integrale è un operatore lineare, cioè:

: <math> \int \left( k \cdot f(x) + h \cdot g(x) \right) dx = \int \left( k \cdot f(x) \right) dx + \int \left( h \cdot g(x) \right) dx = k \cdot \int f(x) dx + h \cdot \int g(x) dx </math>.

Ciò significa che l' integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare degli integrali delle singole funzioni.

 

Ricordando che:

:<math>D \left( F(X) \right) = f(x) \Rightarrow \int f(x) dx = F(X) + C </math>

:<math>D(e^x) = e^x \Rightarrow \int e^x dx = e^x +C</math>

:<math>D(\log |x|) = \frac{1}{x} \Rightarrow \int \frac{1}{x} dx = \log |x| +C</math>

 

Nell'integrale indefinito, il simbolo <math> dx </math> (che rappresenta la derivata di x, cioè 1), indica la variabile rispetto alla quale si sta integrando la funzione. Nelle formule riportate sopra la variabile secondo cui si integra la funzione è <math>x</math>. Esse rimangono comunque valide nel caso in cui si stia integrando la funzione rispetto ad una qualsiasi variabile o funzione della variabile.

 

Data una funzione <math>y = f[g(x)]</math>, la sua derivata risulta essere:

:<math>y' = f'[g(x)] \cdot g'(x)</math>

Così facendo, si è effettuato un cambio di variabile, cioè si è posta come variabile secondo cui integrare la funzione <math>y = f[g(x)]</math>, rendendo possibile l' applicazione di una delle formule riportate sopra (sostituendo ogni <math>x</math> con <math>g(x)</math>).

 

:<math>\int \frac{6x-4}{3x^2 - 4x + 13} dx = \int \frac{D(3x^2 - 4x + 13)}{3x^2 - 4x + 13} dx = \int \frac{1}{3x^2 - 4x + 13} d(3x^2 - 4x + 13) = </math>

:<math>\log |3x^2 - 4x +13| + C = \int \frac{1}{3x + 5} dx = \int \frac{1}{3x + 5} \cdot \frac {3}{3} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{3x + 5} \cdot 3 \cdot dx = </math>

:<math> = \frac{1}{3} \int \frac{1}{3x + 5} d(3x + 5) = \frac{\log|3x + 5|}{3}</math>

 

Nel caso di un integrale del tipo: <math> \int \frac{N(x)}{D(x)} dx</math>, non risolvibile con una delle formule di cui sopra, e detto <math>m</math> il grado di <math>N(x)</math> e <math>n</math> il grado di <math>M(x)</math>, se <math>m \geq n</math>, applicando la legge fondamentale della divisione, per la quale:

:<math> N(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x) \Rightarrow \frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}</math>

si riduce la frazione alla somma di un polinomio e di un' altra frazione in cui il grado del numeratore sia inferiore a quello del denominatore attraverso una [[w:Divisione_dei_polinomi|divisione di polinomi]].

In questo caso, il polinomio al denominatore si può scrivere come: <math>D(x) = a(x - r_1)(x - r_2) </math>, dove <math>r_1</math> e <math>r_2</math> sono due radici (soluzioni) del polinomio. Perciò:

:<math>\int \frac{N(x)}{D(x)} dx = \frac{1}{a} \cdot \int \frac{\alpha x + \beta}{(x - r_1)(x - r_2)} dx</math>

Ricavando <math>A_1</math> e <math>A_2</math>, si può scomporre il rapporto di due polinomi in due rapporti fra un numero (<math>A_1</math> e <math>A_2</math>) e un polinomio, riconducibili perciò all'integrale dell' inverso di una funzione (che risulta essere il logaritmo della funzione stessa).

 

 

In questo caso il polinomio al denominatore non può essere scomposto e, perciò, si deve tentare di ricondurre l' integrale al caso:

:<math> \int \frac{1}{1 + z^2} dz = \arctan (z) + C</math>

:<math>= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{17}{4} - \frac{9}{64}}} \cdot \arctan \left( \frac{1 - \frac{3}{8} }{\sqrt {\frac{17}{4} - \frac{9}{64}}} \right) +C </math>

 

Nel calcolo di integrali può risultare utile, in alcuni casi addirittura indispensabile, sostituire la variabile iniziale (solitamente <math>x</math>), con un' altra variabile, che rappresenti una funzione della variabile iniziale. Detto in altri termini, potremmo decidere di indicare con una qualsiasi variabile (ad esempio <math>t</math>) un funzione <math>f(x)</math> della variabile iniziale.

 

Poiché, però, come detto, il termine <math>dx</math> indica la derivata di <math>x</math>, se questa variabile viene sostituita da un' altra che ne rappresenta una funzione, allora anche il termine <math>dx</math> deve essere sostituito dalla derivata di <math>t</math>. Perciò:

 

La decisione della funzione da sostituire è sempre a discrezione di chi esegue i calcoli, ma esistono alcune sostituzioni 'standard':

 

:<math>\Rightarrow dy = f'(x) \cdot dx \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot dx</math>

:<math>\Rightarrow \int dy = \int \left( f'(x) \cdot dx \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot dx \right)</math>

:<math>\Rightarrow \int f(x) \cdot g'(x) \cdot dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \cdot dx</math>

 

L' applicazione pratica, effettiva di un integrale si raggiunge con l' integrale definito, ed è il calcolo dell' estensione dell' area sottesa ad un curva di equazione nota.

 

Innanzitutto, nel caso degliintegrali definiti si deve considerare una curva solo in un suo intervallo (indicato solitamente con <math>[a;b]</math>) chiuso e limitato, e nel quale la funzione sia continua. Si definisce trapezoide la figura mistilinea formata da: il tratto di curva considerata, il tratto <math>ab</math> dell' asse <math>x</math> ed i due segmenti <math>af(a)</math> e <math>b f(b)</math>.

 

 

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