Matematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica: differenze tra le versioni
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== I logaritmi ==
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La '''funzione logaritmica''' è definita come l'inverso della funzione esponenziale; in particolare:
dove ''a'' è la base, ''b'' è l'argomento, e ''c'' è il logaritmo in base ''a'' di ''b''.
Potremmo dire quindi che il logaritmo in una base definita di un certo valore è l'esponente che bisogna dare alla base per ottenere l'argomento.
Essendo definita come funzione inversa dell'esponeneziale, la funzione logaritmica ha dominio in <math>(0; + \infty)</math> e codominio nell'insieme dei reali <math>\R</math>; presenta inotlre un asintoto per <math>x=0</math>. Da notare infine che la funzione è definita per ogni base <math>a</math> diversa da 1; infatti la funzione 1<sup>''x''</sup> non è invertibile, non essendo iniettiva.
Per esempio, la scala del pH è basata sui logaritmi in base 10. Come risultato si ha che un pH 5 è dieci volte più acido che un pH 6, e un pH di è cento volte più acido che un pH 6.▼
I logaritmi sono utilizzati in svariate strutture numeriche, nelle quali si ha a che fare con numeri estesi per diversi ordini di grandezza: il logaritmo permette infatti di spostare il valore di una tale proprietà dal numero specifico al suo ordine di grandezza, ovvero l'esponente che eleva 10 al numero desiderato.
La sintassi è una delle cose necessarie che bisogna memorizzare in matematica. Un'equazione esponenziale può essere rappresentata con la seguente notazione:▼
:<math> y = b^x \!</math>▼
Un esempio è la scala del pH, che misura l'acidità di una soluzione ed è legata alla concentrazione di ioni idrossido nell'acqua: tale valore può oscillare tra diversi ordini di grandezza, da <math>10^{-1}</math> a <math>10^{-14}</math>; poiché valore può essere scritto come potenza di 10 (con esponente non necessariamente intero), tale esponente (che equivale al logaritmo del valore della concentrazione in base 10) varierà solo in una gamma limitata di valori, ovvero tra -1 e -14, che risultano più facilmente comprensbili. In particolare:
Ma quando l'equazione viene scritta nella forma logaritmica essa appare così:▼
:<math>pH = -\log_{10}[H_3O^+] \,</math>
▲
Un altro esempio è la scala dei decibel, usata per misurare l'intensità del suono. Infatti tale valore può oscillare tra gli ordini di grandezza <math>10^{-12}</math> a <math>10^{0}</math>.
▲:<math> \log_b (y) = x \ </math>
▲
▲:<math> y = b^x \!</math>
:<math> \log_b (y) = x \ </math>
Nell'esempio sopra, b è la base, x è l'esponente e y è il prodotto. Ecco un esempio numerico:
:<math> \log_2 (32) = 5 \ </math>
L'esempio numerico di
:<math> 2^5 = 32 \!</math>
=== Proprietà dei logaritmi ===
:<math>\log_a(b)+\log_a(c)=\log_a(b \cdot c) \,</math>
:<math>\log_a(b)-\log_a(c)=\log_a \left({b \over c}\right) \,</math>
:<math>\log_a(b^c)=c \cdot \log_a(b) \,</math>
:<math>\log_a(b)= \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \,</math> (cambio di base)
=== Grafici dedotti ===
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=== Equazioni e disequazioni logaritmiche ===
[[Categoria:Matematica per le superiori|Funzioni esponenziale e logaritmica]]
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