Matematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica: differenze tra le versioni
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y = 2^(x+a)+b
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=== Equazioni
Una equazione si definisce esponenziale quando essa contiene almeno un'incognita ad esponente di una potenza. Per risolvere
*Quando si raggiunge la forma <math>a^{f(x)} = a^{g(x)}</math>, per determinare le soluzioni sarà sufficienze porre <math>f(x) = g(x)</math>
*Quando si raggiunge la forma <math>a^{f(x)} = b</math>, per determinare la soluzione sarà necessario utilizzare la funzione logaritmo (descritta successivamente in questa pagina), a meno che ''b'' non sia ottenibile elevando ''a'' per un esponenete intero o comunque notevole. Ad esempio:
*:<math>3^{2x+3}=81</math> è facilmente risolvibile, in quanto 81 equivale alla quarta potenza di 3 (<math>3^4=81</math>); possiamo dunque porre <math>2x+3=4</math> (da cui ''x = 1/2'')
*Un caso più particolare si verifica quando è impossibile ricondurre l'equazione ad una delle forme viste precedentemente usando le proprietà delle potenze, ovvero il caso in cui si ha: <math>a^{f(x)} = b^{g(x)}</math>. Per risolvere questa equazione si rende necessario l'uso dei logaritmi, che saranno affrontati in seguito.
Tuttavia, l'equazione potrebbe essere:
* determinata, quando l'equazione ammette una e una sola soluzione, dato che la funzione esponenziale è biunivoca;
* indeterminata, quando 1<
* impossibile, quando b < 0 oppure quando <math>a = 1</math> e <math>b \ne 1</math>.
=== Disequazioni esponenziali ===
Per risolvere invece una disequazione esponenziale, bisogna tenere conto
* se a > 1, allora <math>a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2</math>;
* se 0 < a < 1, allora <math>a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2</math>, invertendo quindi il
È pertanto necessario in primo luogo ricondurre l'equazione ad una forma del tipo <math>a^{f(x)} > a^{g(x)}</math> oppure <math>a^{f(x)} > b</math> (o le rispettive con segno opposto):
*Nel primo caso, sarà sufficiente porre <math>f(x) > g(x)</math> (se <math>a > 1</math>) oppure <math>f(x) < g(x)</math> (se <math>0<a<1</math>). Se l'equazione nella forma normale è della forma <math>a^{f(x)} < a^{g(x)}</math>, basterà cambiare il verso della disequazione
*Nel secondo caso, se b è un esponenziale noto di a, allora sarà sufficiente porre <math>f(x)</math> maggiore o minore dell'esponente in questione (a seconda che a sia maggiore di 1 o compreso tra 0 e 1). Altrimenti, sarà necessario usare la funzione logaritmo
== I logaritmi ==
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