Matematica per le superiori/Dai problemi alla teoria: differenze tra le versioni
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==In Prima F si parte con alcuni tentativi numerici==
C'è chi prova con il 12: <math> \left( \frac {12+21} {3} \right) ^2= \left( \frac {33} {3} \right) ^2 =11^2 =121 </math>
C’è invece chi prova col 37: <math> \left( \frac {37+73} {10} \right)^2= \left( \frac {110} {10} \right)^2 =11^2 =121 </math>
C’è anche chi prova col 05: <math> \left( \frac {05+50} {5} \right)^2= \left( \frac {55} {5} \right)^2 =11^2 =121 </math>
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*la loro somma con: <math> \ 10a+b+10b+a </math>
*il rapporto fra tale somma e la somma delle cifre con: <math> \frac {10a+b+10b+a} {a+b} </math>
*il cui quadrato è: <math> \left( \frac {10a+b+10b+a} {a+b} \right)^2 </math>
L’espressione letterale così ottenuta rappresenta la traduzione in operatori matematici generici del problema iniziale. Se il caso generale contiene delle lettere (per le quali si possono scegliere valori diversi) allora il risultato deve dipendere dal valore che attribuiremo di volta in volta ad <math> \ a </math> e <math> \ b </math>.
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Ricordando che le filastrocche imparate sulle proprietà delle operazioni finiscono sempre con le parole: ''il risultato non cambia'', intuiamo che sfruttare le proprietà delle operazioni ci garantirà di trasformare la nostra espressione letterale senza cambiarne il valore.
Qualcuno propone di applicare la proprietà commutativa al numeratore della frazione. Così facendo la nostra espressione diventa: <math> \left( \frac {10a+a+10b+b} {a+b} \right)^2 </math>
Questa espressione è senza dubbio equivalente a quella di partenza. Abbiamo infatti applicato all’addizione una proprietà che nell’addizione funziona.
Qualcun altro propone, giusto per focalizzare l’attenzione sui termini simili, di applicare anche la proprietà associativa al numeratore della frazione. Così facendo la nostra espressione diventa: <math> \left[ \frac {(10a+a)+(10b+b)} {a+b} \right]^2 </math>
Anche adesso potremmo giurare che l’espressione sia equivalente a quella di partenza: abbiamo applicato all’addizione un'altra proprietà che nell’addizione funziona.
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Tutti contenti, scriviamo dunque la prima semplificazione vera e propria della nostra espressione sicuri della sua validità:
<math> \ \left[ \frac {(10a+a)+(10b+b)} {a+b} \right]^2 = \left( \frac {11a+11b} {a+b} \right)^2</math> .
Però in questa espressione ci sono ancora lettere. Se ci fermiamo qui, ci tocca rispondere (E).
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Sarebbe bello, perciò ci proviamo di slancio, senza verificare se abbiamo il supporto di una opportuna proprietà.
Così facendo otteniamo: <math> \ \left( \frac {11a+11b} {a+b} \right)^2 = (11+11)^2 = 22^2 = 484 </math>
Che delusione!
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Un momento!
Per passare da <math> \ \left( \frac {11a+11b} {a+b} \right)^2 </math> a <math> \ (11+11)^2 </math>
abbiamo diviso per <math> \ a </math> solo il primo termine del numeratore e il primo termine del numeratore, non tutto il numeratore e tutto il denominatore.
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==La somma di termini che non hanno la stessa parte letterale non si può fare==
Torniamo dunque all’ultima versione affidabile della nostra espressione, e cioè a: <math> \ \left( \frac {11a+11b} {a+b} \right)^2 </math>
Così, d’istinto, qualcuno propone che la somma fra <math> \ 11a </math> e <math> \ 11b </math> sia <math> \ 22ab </math>.
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Perciò la nuova versione della nostra espressione letterale è:
<math> \ \left[ \frac {11(a+b)} {a+b} \right]^2 </math>
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Siccome questa volta abbiamo rispettato i dettami della proprietà invariantica della divisione, ciò ci garantisce che il risultato non cambi e che la nuova espressione sia equivalente alle precedenti. Perciò:
<math> \left( \frac {10a+b+10b+a} {a+b} \right)^2 </math>=
<math> \left( \frac {10a+a+10b+b} {a+b} \right)^2 </math>=
<math> \left[ \frac {(10a+a)+(10b+b)} {a+b} \right]^2 </math>=
<math> \ \left[ \frac {(11a+11b)} {a+b} \right]^2 </math> =
<math> \ \left[ \frac {11(a+b)} {a+b} \right]^2 </math> =
<math> \ [11]^2 </math> = <math> \ 121 </math>
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