Fisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale: differenze tra le versioni

Una quantità che richieda, per essere completamente caraterizzata, una direzione ed una grandezza (un numero reale positivo) è un vettore. Una quantità che è totalmente caratterizzata da un singolo numero reale è uno scalare. Un vettore può venire rappresentato con un segmento orientato, PQ, nello spazio, in cui la lunghezza del segmento è la grandezza del vettore, o modulo, e la direzione da P a Q è la sua direzione. La posizione del punto iniziale P è irrilevante cosicchècosicché qualsiasi segmento di retta con la medesima direzione e grandezza è lo stesso vettore. Di frequente è necessario considerare vettori vincolati a un punto; a tale combinazione vettore punto è dato il nome di vettore vincolato.

Due vettori sono considerati uguali se, e soltanto se, hanno la medsima grandezza e direzione. Un vettore zero, '''O''', è definito come un vettore di grendezza zero sicchèsicché può essere rappresentato da un punto. |'''a'''|='''0''' se, e solo se, a=0. Il vettore zero può essere ritenuto di essere orientato in tutte le direzioni cosicchècosicché da risultare sia parallelo sia normale a qualsiasi altro vettore.

Il prodotto scalare <math>\vec a\cdot \vec b=0</math> se <math>|\vec a|=0</math> o <math>|\vec b=0</math> o <math>\ \theta={\pi\over 2}</math>. PoichèPoiché il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore <math>\vec a\cdot\vec b=0</math> se, e solamente se, <math>\vec a</math> è perpendicolare a <math>\vec b</math>.

'''Sistema di coordinate rettangolari destro'''. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi '''x''','''y''' e '''z''' è detto destro se le direzioni positive di '''x''', '''y''' e '''z'''sono scelte cosicchècosicché una vite destra avanza lungo l'asse '''z''' positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo '''x''' sull'asse positivo '''y'''. Siano '''i''','''j''' e '''k''' dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi '''x''','''y''' e '''z'''. '''i''', '''j''' e '''k''' soddisfano le relazioni '''<math>\ i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1</math>''' e '''<math>\ i\cdot j=j\cdot k=k\cdot i=0</math>'''.

3. Il prodotto vettoriale di due vettori <math>\vec a</math> e <math>\vec b</math>, presi in tale ordine, è un terzo vettore <math>\vec c </math>, indicato da <math>\vec a\times \vec b</math>, e definito nel modo che segue: <math>\vec a</math> e <math>\vec b</math> siano rappresentati rispettivamente da <math>\vec {OA}</math> e <math>\vec {OB}</math> e <math>\ \theta</math> sia l'angolo minore dei due angoli da <math>\vec {OA}<math> a <math>\vec {OB}</math> cosicchècosicché <math>\ 0\le \theta\le \pi</math>. Allora <math>\vec c=\vec a\times \vec b</math> è il vettore di grandezza <math>|\vec c|=|\vec a||\vec B|sin\theta</math> che è perpendicolare al piano di <math>\vec {OA}</math> e <math>\vec {OB}</math> orientato nella direzione in cui una vite destra avanza quando sia ruotata di un angolo <math>\ \theta</math> da <math>\vec {OA}</math> verso <math>\vec {OB}</math>.

parentesi non sono necessarie attorno a <math>\vec a\times \vec b</math> in <math>\vec a\times b\cdot c</math> perchèperché <math>\vec a\times (\vec b\cdot c)</math> è senza significato, essendo il prodotto vettoriale definito solamente per due vettori, laddove <math>\vec b\cdot c</math> è uno scalare.