Fisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale: differenze tra le versioni

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Il prodotto scalare <math>\vec a\cdot \vec b=0</math> se <math>|\vec a|=0</math> o <math>|\vec b=0</math> o <math>\ \theta={\pi\over 2}</math>. Poichè il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore <math>\vec a\cdot\vec b=0</math> se, e solamente se, <math>\vec a</math> è perpendicolare a <math>\vec b</math>.
 
 
'''Sistema di coordinate rettangolari destro'''. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi '''x''','''y''' e '''z''' è detto destro se le direzioni positive di '''x''', '''y''' e '''z'''sono scelte cosicchè una vite destra avanza lungo l'asse '''z''' positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo '''x''' sull'asse positivo '''y'''. Siano '''i''','''j''' e '''k''' dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi '''x''','''y''' e '''z'''. '''i''', '''j''' e '''k''' soddisfano le relazioni '''<math>i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1</math>''' e '''<math>i\cdot j=j\cdot k=k\cdot i=0</math>'''.
Per qualsiasi vettore <math>\vec a</math> si scriva <math>a_x=\vec a\cdot i</math>, <math>a_y=\vec a\cdot j</math>, <math>a_z=\vec a\cdot k<math>. <math>a_x,a_y,a_z</math> sono le componenti cartesiane di <math>\vec a</math> sugli assi coordinati. Pertanto <math>\vec a=a_x\cdot i+a_y\cdot j+a_z\cdot k</math>. I vettori <math>\vec a</math> e <math>\vec b</math> soddisfano le relazioni
 
 
 
::::<math>\vec a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z</math>
 
::::<math>\vec a\pm \vec b=(a_x\pm b_x)i+(a_y\pm b_y)j+(a_z\pm b_z)k</math>
 
::::<math>\vec a=\vec b</math> <math>\ se,\ e\ soltanto\ se</math>, <math>\ a_x=b_x, a_y=b_y, a_z=b_z</math>
 
::::<math>\vec a=\vec 0</math> <math>\ se,\ e\ soltanto\ se</math>, <math>\ a_x=a_y=a_z=0</math>
 
::::<math>\vec a\cdot \vec a=|\vec a|^2={a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2</math>