Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Derivate"

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allora nel punto x = c si ha un punto angoloso, cioè un punto nel quale sono presenti due diverse tangenti.
 
Se, invece, nel punto i limiti della derivata da destra e da sinistra sono entrambi infiniti positivamente o negativamente (purchèpurché aventi entrambi lo stesso 'segno'), allora in quel punto è presente un punto di flesso a tangente verticale. Scritto in simboli:
:<math>\lim_{x \rightarrow c^{-}} f'(x) \cdot \lim_{x \rightarrow c^{+}} f'(x) = +\infty</math>
 
===Derivata di una funzione esponenziale===
 
Una funzione esponenziale si presenta in questo modo:<math>y = \left[ f(x) \right]^{g(x)}</math>. Per calcolare la derivata di una funzione di questo tipo, è sufficiente ricordare che <math>e^{\ln a} = a</math>, e quindi scrivere l' equazione in questa nuova forma, assolutamente equivalente alla precedente: <math>y = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}</math>. Ora essa può essere considerata come una funzione del tipo <math>y = e^x</math>, e derivata come tale, ricordando che poichèpoiché al posto di x è presente una funzione <math>g(x) \cdot \ln f(x)</math>, si deve applicare la formula per la derivata di una funzione di funzione.
 
===Derivata dell' inverso di una funzione===
:<math>\Rightarrow y' = - \sin x</math>
===<math>y = \tan x</math>===
PoichèPoiché: <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math>
:<math>\Rightarrow y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x (- \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x </math>
 
Sostituendo il differenziale all' incremento (cioè, come si dice, confondendo l' uno con l' altro), si commette un errore che vale, se considerato <math>dy</math> e <math>\Delta y</math>: <math>\Delta x \cdot \varepsilon(\Delta x)</math>.
 
Geometricamente, significa sostituire al grafico della curva quello della sua tangente. Naturalmente, poichèpoiché la derivata rimane pur sempre un limite, l' errore commesso è infinitesimale appunto, e può perciò essere ignorato.
 
==Legami fra derivabilità e continuità==
Per assurdo: <math>\not\exist c \in (a; b) : f'(c) = 0</math>.
 
Per il teorema di Weierstrass, poichèpoiché <math>y = f(x)</math> è continua (nell' intervallo considerato), allora esisterà un punto di minimo e uno di massimo (nell' intervallo considerato). Essi sono punti stazionari, quindi: <math>\exist x_1, x_2 : f(x_1) = M, f(x_2) = m \Rightarrow f'(x_1) = f'(x_2) = 0</math>.
 
Per l' assurdo iniziale, essi non possono appartenere ad <math>(a; b)</math> ma devono appartenere ad <math>[a; b]</math>, perciò devono essere gli estremi dell' intervallo.
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