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Elettronica pratica/Moltiplicatori analogici: differenze tra le versioni

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Come è noto, usando amplificatori operazionali e diodi è molto facile ottenere il logaritmo e l'esponenziale di un certo ingresso. Ricordando la proprietà del logaritmi:
:<math>\log (a \cdot b) = \log a + \log b</math>
due segnali possono essere moltiplicati prima calcolando i loro logaritmi, poi sommandoli ed alla fine calcolando l'esponenziale di una tale somma. Dal punto di vista dei matematici, un tale approccio funziona purchèpurché i due ingressi siano positivi, poichèpoiché il logaritmo di un numero negativo non esiste (nel dominio del reale). Vedremo che questo limite è altrettanto valido per i circuiti reali, anche se la ragione sarà più fisica.
Il diagramma a blocchi di questa realizzazione è il seguente:
 
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:<math>v_a = - \left[ - V_T \ln \left( \frac{v_1}{R I_s} + 1 \right) - V_T \ln \left( \frac{v_2}{R I_s} + 1 \right) \right] =
V_T \ln \left[ \left( \frac{v_1}{R I_s} + 1 \right) \left( \frac{v_2}{R I_s} + 1 \right) \right]</math>
cosicchècosicché l'uscita finale è:
:<math>v_b = - R I_s \left( e^{\frac{v_a}{V_T}} - 1 \right) = - \frac{v_1 \cdot v_2}{R I_s} - (v_1 + v_2)</math>
come è chiaro, nell'uscita c'è la moltiplicazione che cerchiamo, ma cè anche un altro termine che non si vuole. Non può venire considerato semplicemente un errore poichèpoiché può essere grande quanto l'elemento moltiplicativo, sicchèsicché deve venire rimosso. In ogni caso, questo è un compito facile dato che è necessario soltanto aggiungere un ulteriore stadio per sommare esattamente <math>v_1 + v_2</math>, e non avere così nessun errore. Il circuito moltiplicatore completo è il seguente:
 
[[Image:Analog multiplier full.svg|center|800px]]
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in cui la tensione d'uscita è data da:
:<math>v_{out} = - \left( - \frac{v_1 \cdot v_2}{R I_s} - (v_1 + v_2) + (v_1 + v_2) \right) = \frac{v_1 \cdot v_2}{R I_s} </math>
che è esattamente ciò che si voleva. Il circuito funziona finchèfinché la seguente relazione è soddisfatta:
:<math>v_1 , v_2 > - R I_s</math>,
perciò gli ingressi possono essere zero o leggerkente negativi ma, dato che <math> R I_s</math> vuole essere una tensione molto piccola, ci è concesso di riscrivere la relazione semplicemente come <math>v_1 , v_2 \geq 0</math>. Dal punto di vista matematico ciò è dovuto dal fatto che non si può calcolare il logaritmo di un numero negativo, mentre dal punto di vista fisico il limite è dovuto al fatto che è possibile ottenere solamentre delle correnti molto piccole polarizzando i diodi in senso inverso.
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[[Image:Analog multiplier mos basic.svg|thumb|right|100px]]
GiacchèGiacché è possibile usare un transistore MOSFET come resistore controllato da una tensione, è possibile usare questa caratteristica per creare un moltiplicatore analogico. Riferiamoci alla figura alla destra. Indichiamo con le lettere i differenti piedini: '''D'''rain (pozzo), '''S'''ource (sorgente) e '''G'''ate (porta). I transistori MOS sono dispositivi simmetrici, quindi possiamo sostituire il Drain alla Source senza influire sul comportamento del dispositivo. Comunque, chiamiamo Source il terminale a tensione più bassa e Drain il terminale con tensione maggiore.
 
Quando la tensione fra Gate e Source è meno della tensione reail drain e il Source, cioè <math>V_{GS} < V_{DS}</math>, la relazione fra corrente e tensine è la seguente:
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[[Image:Analog multiplier mos.svg|center|500px]]
 
in cui il Source e il Drain di entrambi i dispositivi sono mostrati. Se <math>v_2</math> and <math>V_{ref}</math> sono positivi, allora i Source rimarranno la poichèpoiché quei terminali sono collegati virtualmente a terra dagli amplificatori operazionali. La corrente che scorre attraverso <math>R_1</math> è definta: un lato del resistore ha la tensione <math>v_1</math>, l'altro è messo a terra. La medesima corrente scorrera attraverso il MOS <math>M_1</math>, definendo così la tensione <math>V_G</math>. La corrente è data da:
 
:<math>\frac{v_1}{R_1} = - I_{DS1} = - 2 K (V_{GS1} - V_{T1}) V_{DS1}</math>
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