Geometrie non euclidee/La geometria di Riemann: differenze tra le versioni

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Dopo Lobacevskij, altri grandi matematici diedero contributi fondamentali alla costruzione di sistemi geometrici alternativi a quello euclideo. È giagià stato osservato che l'unica negazione del V postulato coerente con il resto del sistema euclideo è relativa all'unicità della parallela; infatti era nota la contraddittorietà dell'ipotesi dell'ottuso, cioè l'ipotesi che nega l'esistenza della parallela. Restava comunque in sospeso la possibilità (modificando qualcos'altro oltre al V postulato) di costruire geometrie (non-euclidee) in cui si negasse l'esistenza della parallela; o addirittura sistemi geometrici ancora più generali. Un importante contributo alla chiarificazione e soluzione di questi temi venne dato da Georg Friedrich '''Bernhard Riemann'''.
 
Nella geometria euclidea, così come in quella di Lobacevskij, si implica, seppur tacitamente, che la retta è infinita, ma con Riemann si apre una nuova via di intendere i concetti fondamentali. Egli infatti fu il primo a introdurre una '''distinzione tra illimitatezza e infinità'''; tale distinzione gli derivava dal considerare in geometria sia le proprietà di "estensione" sia le proprietà "metriche" e affermava che l'illimitatezza dello spazio possiede una maggiore certezza empirica di ogni altra esperienza esterna, ma che da questo non consegue necessariamente l'infinità; anzi, basterebbe che lo spazio avesse una curvatura costante positiva, seppur minima, ed esso sarebbe certamente finito.