Differenze tra le versioni di "Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π"

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Il [[numero razionale]] '''22/7''' è ampiamente usato come [[approssimazione]] di '''[[w:pi greco|π]]'''. Esso è una ridotta della espansione in [[w:frazione continua|frazione continua]] di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da [[w:Archimede|Archimede]]. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:
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Il [[numero razionale]] '''22/7''' è ampiamente usato come [[approssimazione]] di '''[[pi greco|π]]'''. Esso è una ridotta della espansione in [[frazione continua]] di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da [[Archimede]]. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:
 
:<math>\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,</math>
 
:<math>\pi \approx 3.141592\dots\,</math>
 
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di &pi; dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]].
 
==L'idea==
==I dettagli==
 
Il fatto che l'[[Matematica per le superiori/Integrali|integrale]] sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di [[numero reale|numeri reali]]. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.
 
Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:
|}
 
avendo usato [[w:arcotangente|arctan]](1) = &pi;/4 e arctan(0)=0.
 
==Apparizione nella Putnam Competition==
 
La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel [[1968]] della [[w:William Lowell Putnam Mathematical Competition|Putnam Competition]].
 
== Collegamenti esterni ==
*[http://www.kalva.demon.co.uk/putnam/putn68.html Il problema della Putnam competition del 1968]
{{Portale|matematica}}
 
{{alfabetico|D}}
[[Categoria:Numeri reali]]
[[Categoria:Dimostrazioni matematicheMatematica]]
 
{{Avanzamento|100%|21 luglio 2009}}
[[bn:২২/৭ পাই-এর চেয়ে বড় তার প্রমাণ]]
[[en:Proof that 22/7 exceeds π]]
[[fr:22 / 7 dépasse π]]
[[pt:Prova de que 22/7 é maior que π]]
[[sr:Једноставан доказ да је 22/7 веће од пи]]
[[zh:證明22/7大於π]]
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