Matematica per le superiori/Numeri complessi: differenze tra le versioni
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:<math>= r_1^n \cdot [\cos (n \cdot \theta_1) + i \cdot \sin(n \cdot \theta_1)]</math>
*rapporto
:<math>\frac{c_1}{c_2} = \frac{r_1 \cdot ( \cos \theta_1 + i \cdot \sin \theta_1 )}{r_2 \cdot ( \cos \theta_2 + i \cdot \sin \theta_2 )} \cdot \frac{( \cos \theta_2 + i \cdot \sin \theta_2 )}{( \cos \theta_2 + i \cdot \sin \theta_2 )} = </math>
:questa operazione è lecita in quanto la quantità per cui viene moltiplicato il rapporto fra i due numeri complessi vale uno (avendo numeratore e denominatore uguali).
:<math>= \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{\cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 - i \cdot \cos \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + i \cdot \sin \theta_1 \cdot \cos \theta_2 - i^2 \cdot \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2}{\cos^2 \theta_2 - i^2 \cdot \sin^2 \theta_2} =</math>
:<math>= \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{\cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + i \cdot ( \cos \theta_1 \cdot \sin \theta_2 - \sin \theta_1 \cdot \cos \theta_2)}{\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2} =</math>
:<math>= \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{\cos (\theta_1 - \theta_2) + i \cdot \sin (\theta_1 - \theta_2)}{1} \Rightarrow</math>
:<math> \Rightarrow \frac{c_1}{c_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot [\cos (\theta_1 - \theta_2) + i \cdot \sin (\theta_1 - \theta_2)]</math>
*radice <math>n</math>-esima
Innanzitutto, consideriamo un numero complesso c. Di questo possiamo certamente dire che la sua radice <math>n</math>-esima è un' altro numero complesso <math>w = \sigma \cdot ( \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi )</math>, tale per cui <math>\sqrt[n]{C} = w \Leftrightarrow w^n = c</math>. Perciò:
:<math>c = w^n \Rightarrow r \cdot ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta ) = \sigma^n \cdot [\cos(n \cdot \varphi) + i \cdot \sin (n \cdot \varphi)]</math>
:Da qui si ricava immediatamente che:
:<math>\sigma = \sqrt[n]{r}</math> e che
:<math>n \cdot \varphi = \theta + 2k \pi</math>, con k = 0, 1,..., <math>n - 1</math>.
::<math>\Rightarrow \varphi = \frac{\theta}{n} + \frac{k}{n} \cdot 2 \pi</math>
Quindi: <math>\sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{r} \cdot \left[ \cos \left( \frac{\theta}{n} + \frac{k}{n} \cdot 2 \pi \right) + i \cdot \sin \left( \frac{\theta}{n} + \frac{k}{n} \cdot 2 \pi \right) \right]</math>, con k = 0, 1,..., <math>n - 1</math>.
Da un punto di vista grafico significa che, sul piano di Argand-Gauss, le radici di un numero complesso si dispongono su un poligono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>\sqrt[n]{r}</math> e centro nell' origine degli assi. Gli angoli che insistono su ogni lato del poligono sono uguali fra loro (come anche i lati e gli archi relativi, poichè il poligono è regolare) e valgono <math>\frac{\theta}{n}</math>.
===Forma esponenziale di un numero complesso===
Innanzitutto va definita la cosiddetta '''prima formula di Nepero''', cioè:
:<math>e^{i \cdot \theta} = cos \theta + i \cdot \sin \theta</math>
Questa formula è lecita, in quanto si dimostra facilmente che i due termini dell' uguaglianza si comportano allo stesso modo in tutte le condizioni.
Perciò, il nostro (ormai famoso) numero complesso <math>c</math>, si può scrivere anche come <math>c = r \cdot e^{i \cdot \theta}</math>. Questa è detta forma esponenziale di un numero complesso.
Dalla prima formula di Eulero deriva direttamente la '''seconda formula di Eulero''':
:<math>e^{i \cdot (- \theta)} = cos (- \theta) + i \cdot \sin (- \theta) = cos \theta - i \cdot \sin \theta</math>.
La '''terza formula di Eulero''' deriva dalla somma delle prime due e qualche semplice manipolazione:
:<math> \cos \theta = \frac{e^{i \cdot \theta} + e^{- i \cdot \theta}}{2}</math>
La '''quarta formula di Eulero''' deriva, invece, dalla differenza delle prime due, sempre con qualche semplice manipolazione:
:<math> \sin \theta = \frac{e^{i \cdot \theta} - e^{- i \cdot \theta}}{2 \cdot i}</math>
Ovviamente, tutte le operazioni sui numeri complessi possono essere svolte anche quando essi si presentano in forma esponenziale.
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