Matematica per le superiori/Numeri complessi: differenze tra le versioni
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I numeri immaginari vengono rappresentati su una retta orientata, esattamente come i numeri reali, in cui ogni punto rappresenta un valore del coefficiente (reale) di <math>i</math>, con la sola differenza che, solitamente, la retta è in posizione verticale, con la perte positiva rivolta verso l' alto (si capirà più avanti il perchè).
Si definisce numero complesso un numero formato dalla somma di un numero reale ed uno immaginario. Quindi: <math> \forall a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow a + b \cdot i \in \mathbb{C}</math>.
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===Rappresentazione===
====Piano di Argand-Gauss====
Poichè le 'variabili' di un numero complesso <math>c = a + b \cdot i</math> sono il valore della parte intera (<math>a</math>) e del coefficiente dell' imaginario (<math>b</math>), essi possono essere rappresentati nel cosiddetto piano di Argand-Gauss (spesso il nome di Argand è eclissato da quello del più famoso Gauss, e quindi questo piano è spesso detto 'di Gauss'). In questo particolare piano, l' asse x è l' asse dei numeri reali (con la parte positiva rivolta a destra), mentre l' asse y è l' asse dei numeri immaginari (con la parte positiva rivolta verso l' alto). In questo modo, ogni numero complesso è rappresentato univocamente da un punto (affissa) del piano, cioè da una coppia ordinata di valori che rappresentano le coordinate del punto sul piano, in cui la prima è la parte reale e la seconda il coefficiente dell' immaginario.
Si nota immediatamente che numeri opposti sono simmetrici rispetto all' origine, mentre numeri coniugati sono simmetrici rispetto all' asse dei reali.
====Vettori e coordinate polari====
Con questa rappresentazione dei numeri complessi, si viene a creare una corrispondenza con i vettori, in quanto il vettore che 'congiunge' l' origine delle due rette (cioè il numero 0) con l' affissa del numero complesso rappresenta il numero stesso e, se scomposto secondo le direzioni dei due assi, fornisce la parte reale e il coefficiente dell' immaginario del numero.
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Per quanto riguarda lo zero complesso, esso ha <math>r = 0</math> e <math>\theta</math> indeterminato. I numeri immaginari hanno <math> \theta = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi</math>, con <math>k \in \mathbb{N}</math>, mentre i numero reali hanno <math> \theta = k \cdot \pi</math>, con <math>k \in \mathbb{N}</math>. Numeri coniugati hanno uguale <math>r</math> e angoli (<math>\theta</math>) esplementari fra loro, mentre numeri opposti hanno modulo opposto e angoli(<math>\theta</math>) esplementari fra loro.
===Forma trigonometrica di un numero complesso===
Da questa seconda corrispondenza, deriva un nuovo modo di esprimere i numeri complessi, infatti del numero complesso <math>c = a + b \cdot i</math>, a (cioè la parte reale) vale <math> r \cdot \cos(\theta)</math>, mentre b (cioè
Perciò, il numero si può esprimere come: <math> c = r \cdot \cos(\theta) + r \cdot \sin(\theta) = r \cdot ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta )</math>.
Questa è detta forma trigonometrica di un numero complesso.
====Operazioni====
Le operazioni con i numeri complessi possono essere svolte anche con i numeri espressi in forma trigonometrica. Infatti, dati due numeri complessi:
:<math>c_1 = r_1 \cdot ( \cos \theta_1 + i \cdot \sin \theta_1 )</math> e
:<math>c_2 = r_2 \cdot ( \cos \theta_2 + i \cdot \sin \theta_2 )</math>
valgono le seguenti formule:
*prodotto
:<math>c_1 \cdot c_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot (\cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + i \cdot \sin \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + i \cdot \cos \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + i^2 \cdot \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2) =</math>
:<math>= r_1 \cdot r_2 \cdot [(\cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2) + i \cdot (\sin \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \sin \theta_2)] =</math>
:<math>r_1 \cdot r_2 \cdot [\cos (\theta_1 + \theta_2) + i \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2)]</math>
*elevamento a potenza <math>n</math>-esima
:[applicando la formula di moltiplicazione:<math> c_1^n = r_1^n \cdot [\cos (\underbrace{\theta_1 + \theta_1 + ... + \theta_1}) + i \cdot \sin(\underbrace{\theta_1 + \theta_1 + ... + \theta_1})] =</math>
:dove le due parentesi graffe in basso rappresentano la somma di <math>n</math> termini.
:<math>= r_1^n \cdot [\cos (n \cdot \theta_1) + i \cdot \sin(n \cdot \theta_1)]</math>
*rapporto
*radice <math>n</math>-esima
===Forma esponenziale di un numero complesso===
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