Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/L'iperbole"

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==Equazione generica==
Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:
L'equazione generica dell'iperbole può essere dedotta dal suo significato geometrico:<br>
:<math>F_1 \left( |-c PF_1; -0 PF_2) \right, | = 2a</math><br>
:<math>F_1 \left( | \sqrt{(x-c)^2 +; y^2}0 - \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \right, | = 2a</math><br>
L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:<br>
<math> \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math><br>
:<math> (x-c)^2\left +y^2| =PF_1 4a^2- +(x+c)^2PF_2 +y^2 +4a\sqrt{(x+c)^2right +| y^2}= 2a</math><br>
Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo <math>2a</math>.
<math> x^2 + c^2 -2cx -4a^2 -x^2 -c^2 -2cx = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math><br>
 
<math> -4cx -4a^2 = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math><br>
Sviluppando avremo:
<math> c^2x^2 +a^4 +2a^2cx = a^2x^2 +a^2c^2 +2a^2cx +a^2y^2</math><br>
:<math> x^2\left | \sqrt{(x-c)^2-a + y^2)} -a^2y \sqrt{(x+c)^2 =+ a^2cy^2} -a^2\right | = 2a</math><br>
:<math> \fracsqrt{(x^2(-c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)} -\frac{a^2y+ y^2}{a^2(c^2-a^2)} = 2a + \fracsqrt{a^2(x+c^2-a^2)}{a^2(c + y^2-a^2)}</math><br>
:<math> \frac{(x-c)^2}{a +y^2} -\frac{= 4a^2 +(x+c)^2 +y^2} +4a\sqrt{(x+c)^2-a + y^2} = 1</math><br>
:<math> bx^2 =+ c^2 -2cx -a4a^2 -x^2 -c^2 -2cx = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math><br>
:<math> -4cx -4a^2 = 4a\fracsqrt{(x+c)^2}{a^2} -\frac{+ y^2}{b^2} = 1</math><br>
:<math> c^2x^2 +a^4 +2a^2cx = a^2x^2 +a^2c^2 +2a^2cx +a^2y^2 \,</math><br>
:<math> x^2 + (c^2 -2cx -4aa^2) -xa^2 -c2y^2 -2cx = 4a\sqrt{(x+c)a^2c^2 + y-a^2} \,</math><br>
:<math> \frac{x^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)} -\frac{a^2y^2}{a^2(c^2-a^2)} = \frac{a^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}</math>
|:<math> \frac{(x - x_c)^2}{a^2} -\frac{(y - y_c)^2}{bc^2-a^2} = 1</math><br>
Per comodità possiamo porre:
:<math> -4cx -4ab^2 = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y-a^2} \,</math><br>
e avremo quindi:
:<math> \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1</math>
Questa è detta '''equazione canonica dell'iperbole'''.
 
== Centro e punti notevoli ==
Chiamiamo '''centro''' dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:
:<math> \sqrtfrac{ (x-cx)^2 + y}{a^2} = 2a + -\sqrtfrac{ (x+c-y)^2 + y}{b^2} = 1</math><br>
:<math> \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1</math>
 
Chiamiamo poi '''vertici''' dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:
:<math>
\left\{\begin{matrix}
\begin{align}
& \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1 \\
& y = 0 \\
\end{align}
\end{matrix}\right.
</math>
:<math>\frac{x^2}{a^2} = 1</math>
:<math> x^2 = a^2</math>
:<math> x = \pm a</math>
 
I vertici saranno pertanto: <math>V(a; 0)</math> e <math>V(-a; 0)</math>
 
== Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate ==
Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta <math> y = x </math>. L'equazione diventerà quindi:
:<math> \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1</math>
:<math> \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1</math>
 
Si può quindi operare una '''traslazione''' per spostare il centro dall'origine:<br>
 
<math> \frac{(x - x_c)^2}{a^2} -\frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1</math>
 
 
Si può quindi operare una '''traslazione''' per spostare il centro dall'origine:<br>
{|border="1" cellpadding="10" cellspacing="0"
|<math> \frac{(x - x_c)^2}{a^2} -\frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1</math><br>
|}
 
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