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Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 17-24: differenze tra le versioni

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→‎Teorema 21: devo finire ed eventualmente correggere
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== Teorema 21==
<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 2px solid #C6E4F2; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Theorema .14. Propositione .21.
[21/21]''' Se dalli duoi ponti terminanti un lato d'un triangolo usciranno due linee rette, & che quelle si congiongano in un ponto che sia di dentro del triangolo, quelle medeme due linee certamente seranno piu breue delle altre due linee del triangolo, e conteniranno maggior angolo.▼
'''
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[[Image: Euclid027r_c.png |thumb|450px|left|Il maggiore degli angoli di un triangolo è opposto al maggiore dei tre lati.]]}}
 
Facciamo come in questo triangolo ABC e cioè facciamo che dalle due estremità del lato BC escano le due semirette BD e CD il cui punto di intersezione D sia interno al triangolo ABC. Io sostengo che la somma di tali segmenti, BD e CD, sia minore della somma dei due segnmenti BA e CA (ovvero degli altri due lati del triangolo ABC). Sostengo inoltre che l'angolo BDC, formato dalle due semirette sia maggiore dell'angolo BAC individuato dai predetti due lati.
▲[21/21] Se dalli duoi ponti terminanti un lato d'un triangolo usciranno due linee rette, & che quelle si congiongano in un ponto che sia di dentro del triangolo, quelle medeme due linee certamente seranno piu breue delle altre due linee del triangolo, e conteniranno maggior angolo.
 
Per dimostrare che quello che dico è vero prolungherò il lato BD fino a fargli intersecare il lato AC nel punto E. Il [[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Teoremi_17-24#Teorema_20| Teorema 20]] mi permette di affermare che la somma dei due lati AB ed AE del triangolo ABE è maggiore del lato BE.
[vedi figura 027r_c.png] Sia come in questo triangolo ,a,b,c, che dalle due estremità del lato ,b,c, usciscano le due linee ,b,d, et ,c,d, lequale concorrano de dentro del triangolo a,b,c, nel ponto ,d, dico che le dette due linee ,b,d, & ,c,d, insieme gionti sono piu corte che le due linee ,b,a, & ,c,a, (lati del triangolo ,a,b,c,) insieme gionti. Et che l'angolo ,b,d,c, contenuto da quelle è maggiore dell'angolo b,a,c, contenuto dalli predetti duoi lati, & per dimostrar questo slongarò il lato ,b,d, per fin che seghi il lato ,a,c, in ponto .e. hor dico che li duoi lati ,a,b, (13) et a,e, del triangolo .a,b,e, [pag. 27v] gionti insieme sono maggiori del lato .b.e. per la uigesima propositione, & giongendoui equalmente la parte, ouero la linea .e.c. li duoi lati .a.b. & .a.c. seranno maggiori insieme gionti delli duoi lati .b.e. & .e.c. (per la quinta concettione) laqualcosa serba in mente, poi perche li duoi lati .d.e. & .e.c. del triangolo .c.d.e. gionti insieme sono maggiori del lato .d.c. (per la medesima uigesima propositione) giontogli communemente la linea .d.b. li duoi lati .b.e. & ,e.c. seranno anchora maggiori delli duoi lati .b.d. & .d.c. (per la quinta concettione) donde se li duoi lati .b.e. & .e.c. sono maggiori delle due linee protratte .b.d. & d.c. & che li duoi lati a.b. & a.c. sono maggiori delli ditti duoi lati .b.e. & .e.c, (come di sopra fu approuato, quando dissi, serba in mente) tanto maggiormente seranno maggiori delle dette due linee protratte .b.d. & .d.c. che è il proposito. Ma, perche l'angolo .b.d.c. e maggiore dell'angolo ,d.e.c. (per la sestadecima propositione) & l'angolo .d.e.c. per la medesima decimasesta propositione, è maggior dell'angolo .e.a.b. adonque molto maggior serà l'angolo .b.d.c. del ditto angolo .b.a.c. che è il secondo proposito.▼
In simboli: AB + AE > BE
 
Ora, per l'[[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Assiomi#Assioma_5| Assioma 5]], aggiungendo ad entrambi le lunghezze che stiamo confrontando il segmento EC otteniamo:
AB + AE + EC > BE + EC
ovvero che
AB + AC > BE + EC
 
Ma poiché, sempre per il [[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Teoremi_17-24#Teorema_20| Teorema 20]], la somma dei due lati DE ed EC del triangolo CDE è maggiore del lato DC, in virtù dell'[[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Assiomi#Assioma_5| Assioma 5]] sarà anche vero che tale disuguaglianza verrà mantenuta anche se ad entrambe le lunghezze aggiungiamo il
 
 
- in simboli:
DE + ED > DC
aggiungendo ad
 
▲[vedi figura 027r_c.png] Sia come in questo triangolo ,a,b,c, che dalle due estremità del lato ,b,c, usciscano le due linee ,b,d, et ,c,d, lequale concorrano de dentro del triangolo a,b,c, nel ponto ,d, dico che le dette due linee ,b,d, & ,c,d, insieme gionti sono piu corte che le due linee ,b,a, & ,c,a, (lati del triangolo ,a,b,c,) insieme gionti. Et che l'angolo ,b,d,c, contenuto da quelle è maggiore dell'angolo b,a,c, contenuto dalli predetti duoi lati, & per dimostrar questo slongarò il lato ,b,d, per fin che seghi il lato ,a,c, in ponto .e. hor dico che li duoi lati ,a,b, (13) et a,e, del triangolo .a,b,e, [pag. 27v] gionti insieme sono maggiori del lato .b.e. per la uigesima propositione, & giongendoui equalmente la parte, ouero la linea .e.c. li duoi lati .a.b. & .a.c. seranno maggiori insieme gionti delli duoi lati .b.e. & .e.c. (per la quinta concettione) laqualcosa serba in mente, poi perche li duoi lati .d.e. & .e.c. del triangolo .c.d.e. gionti insieme sono maggiori del lato .d.c. (per la medesima uigesima propositione) giontogli communemente la linea .d.b. li duoi lati .b.e. & ,e.c. seranno anchora maggiori delli duoi lati .b.d. & .d.c. (per la quinta concettione) donde se li duoi lati .b.e. & .e.c. sono maggiori delle due linee protratte .b.d. & d.c. & che li duoi lati a.b. & a.c. sono maggiori delli ditti duoi lati .b.e. & .e.c, (come di sopra fu approuato, quando dissi, serba in mente) tanto maggiormente seranno maggiori delle dette due linee protratte .b.d. & .d.c. che è il proposito. Ma, perche l'angolo .b.d.c. e maggiore dell'angolo ,d.e.c. (per la sestadecima propositione) & l'angolo .d.e.c. per la medesima decimasesta propositione, è maggior dell'angolo .e.a.b. adonque molto maggior serà l'angolo .b.d.c. del ditto angolo .b.a.c. che è il secondo proposito.
 
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== Teorema 22==
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