Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Derivate"

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Qui di seguito viene dimostrato il valore di alcune derivate che, d' ora in poi, vengono dati per scontati.
 
*<u>'''===<math>y = cost</math>'''</u>===
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{cost - cost}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{0}{\Delta x}} = 0 \Rightarrow y' = 0</math>
*<u>'''===<math>y = x</math></u>===
*:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta x}} = 1 \Rightarrow y' = 1</math>
*<u>'''===<math>y = x^n</math></u>, con <math> n \in \mathbb{N}_0</math>===
*::<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}} =</math>
*:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( x^n + n \cdot x^{n - 1} \cdot (\Delta x) + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x)^2 + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 1} + (\Delta x)^n \right) - x^n}{\Delta x}} =</math>
*::<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(\Delta x) \cdot \left( n \cdot x^{n - 1} + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x) + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 2} + (\Delta x)^{n - 1} \right)}{\Delta x}} =</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{n \cdot x^{n - 1} + (\Delta x) \cdot \left[ \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 3} + (\Delta x)^{n - 2} \right] } = </math>
*::<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>
*:Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo <math>y = \sqrt[3]{f(x)}</math>). Infatti, la radice ''n''-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza <math>\frac{1}{n}</math>. Cioè: <math>\sqrt[n]{f(x)} = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}</math>. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.
*<u>===<math>y = a^x</math></u>, con <math>a \in \mathbb{R}^{+}</math>===
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot \left(a^{\Delta x - 1} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} </math>
*:Ricordando che: <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = \log_e a</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = a^x \cdot \log_ea \Rightarrow y' = a^x \cdot \log_ea</math>
*<u>===<math>y = \log_ax</math></u>===
*:Ricordando:
*:*la proprietà dei logaritmi per cui <math>\log_c (a) - \log_c(b) = \log_c \left( \frac{a}{b} \right)</math>
*:*che <math>\frac{x}{x} = 1</math> e <math>a \cdot 1 = a \Rightarrow a \cdot \frac{x}{x} = 1</math>
*:*che l' operazione di logaritmo può essere "portata fuori" dal limite, cioè: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\left( \log_ab \right)} = \log_a \left( \lim_{x \rightarrow c}{b} \right)</math>
*:*il limite notevole: <math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left( 1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}} = e</math>
*:*la formula per il cambio di base dei logaritmi: <math>\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca} \Rightarrow \log_ab = \frac{1}{\log_ba}</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \cdot \frac{x}{x} \right]}</math>
*::<math>= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} =</math>
*::<math> \frac{1}{x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} = \frac{1}{x} \cdot \log_a \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot \log_ae = \frac{1}{x \cdot \ln a} \Rightarrow y' = \frac{1}{x \cdot \ln a}</math>
*<u>===<math>y = \sin x</math></u>===
*:Ricordando la formula di prostaferesi: <math>\sin (p) - \sin (q) = 2 \cdot \sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{p + q}{2} \right)</math>
 
*:Ricordando il limite notevole: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{\sin (a)}{a}} = 1</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right)+ \cdot \cos \left(\frac{2 \cdotDelta x) +- \Deltasin x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\cos \left( \frac{x + \frac{\Delta x + x}{2} \right)} = 1 {\cdot frac{\cosDelta x \Rightarrow y'}{2}}} = \cos x</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\sincos \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = -1 \cdot \sincos x \Rightarrow y' = \cos x</math>
*<u>===<math>y = \cos x</math></u>===
*:Ricordando la formula di prostaferesi: <math>\cos (p) - \cos (q) = -2 \cdot \sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{p + q}{2} \right)</math>
*:Ricordando illa limiteformula notevoledi prostaferesi: <math>\lim_{xcos (p) - \rightarrowcos (q) = -2 \cdot \sin \left( c}{\frac{p - q}{2} \right) \cdot \sin \left(a) \frac{p + q}{a}2} = 1\right)</math>
 
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{-2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
Ricordando il limite notevole: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{\sin (a)}{a}} = 1</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\sin \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = -1 \cdot \sin x </math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{-2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \cossin \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
*::<math>\Rightarrow y' = - \sin x</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} +\right) \Deltacdot \cos \left(\frac{2 \cdot x) -+ \sinDelta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{-2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\sin \left( \frac{x + \frac{\Delta x + x}{2} \right)}{ = -1 \frac{cdot \Deltasin x}{2}}} = </math>
*<u><math>y = \tan x</math></u>
*:Poichè: <math>\tanRightarrow xy' = \frac{- \sin x}{\cos x}</math>
*::===<math>\Rightarrow y' = - \sintan x</math>===
*::<math>\Rightarrow y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x (- \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x </math>
Poichè: <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math>
*::<math>\Rightarrow y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x (- \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x </math>
 
 
 
==Teoremi sulle funzioni derivabili==
===Teorema di Rolle===
Questo teorema afferma che: considerata una funzione <math>y = f(x)</math> definita e continua in un intervallo chiuso e limitato <math>[a; b]</math> e derivabile nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo <math>(a; b)</math>, e tale per cui <math>f(a) = f(b)</math>, allora: <math>\exist c \in (a; b) : f'(c) = 0</math>.
 
Fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria.
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''Dimostrazione''
 
Per assurdo: <math>\not\exist c \in (a; b) : f'(c) = 0</math>.
 
Per il teorema di Weierstrass, poichè <math>y = f(x)</math> è continua (nell' intervallo considerato), allora esisterà un punto di minimo e uno di massimo (nell' intervallo considerato). Essi sono punti stazionari, quindi: <math>\exist x_1, x_2 : f(x_1) = M, f(x_2) = m \Rightarrow f'(x_1) = f'(x_2) = 0</math>.
 
Per l' assurdo iniziale, essi non possono appartenere ad <math>(a; b)</math> ma devono appartenere ad <math>[a; b]</math>, perciò devono essere gli estremi dell' intervallo.
 
Per ipotesi, la funzione agli estremi ha lo stesso valore, cioè: <math>f(a) = f(b)</math>, quindi <math>f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow M = m</math>.
 
L' unica funzione per cui il valore massimo che essa assume è uguale a quello minimo, è la funzione costante, cioè <math>y = cost</math>. Ma se la funzione è costante, allora le derivata in ogni suo punto vale 0, contro l' ipotesi iniziale. Deve quindi essere falso l' assurdo iniziale, e perciò vera la tesi. c.v.d.
 
===Teorema di Lagrange===
Il teorema afferma che: considerata una funzione <math>y = f(x)</math> definita e continua in un intervallo chiuso e limitato <math>[a; b]</math> e derivabile nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo <math>(a; b)</math>, allora: <math>\exist c \in (a; b) : f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>.
 
Questo teorema mette in relazione il tasso di variazione medio di <math>f(x)</math> nell' intervallo <math>[a; b]</math>, cioè <math>\frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>, con il suo tasso di variazione istantaneo, cioè <math>f'(c)</math>.
 
Si tratta di una generalizzazione del teorema di Rolle, che può essere ricavato da questo ponendo <math>f(a) \cdot f(b)</math>.
 
''Interpretazione geometrica''
 
La quantità <math>\frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math> rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per i limiti dell' intervallo, cioè i punti <math>x = a</math> e <math>x = b</math>, mentre <math>f'(c)</math> è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto c. Quindi il teorema garantisce l' esistenza di almeno (ma non necessariamente solo) un punto in cui la tangente alla curva è parallela alla retta passante per <math>x = a</math> e <math>x = b</math>.
 
===Teorema di Cauchy===
Detto anche teorema degli accrescimenti finiti.
 
Il teorema afferma che: considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e continue in un intervallo chiuso e limitato <math>[a; b]</math> e derivabili nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo <math>(a; b)</math> e tali che <math>\forall x \in (a; b) \Rightarrow g(x)\ne 0</math> e <math>g'(x) \ne 0</math> allora: <math>\exist c \in (a; b) : \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}</math>.
 
Mette in relazione gli incrementi medi delle due funzioni nel' intervallo con i loro incrementi istantanei in un punto.
 
Questo teorema è una generazione del teorema di Lagrange, che può essere ottenuto da questo ponendo <math>g(x) = x</math>.
 
===Teorema di De L' Hopital===
Il teorema afferma che: considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e continue in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e derivabili nei suoi punti interni e tali che <math>\forall x \in I_C \Rightarrow g(x)\ne 0</math> e <math>g'(x) \ne 0</math>, che <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{0}{0}</math> oppure <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{\infty}{infty}</math> e che esista <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math> allora: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \rightarrow c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>
 
Il teorema fornisce una condizione sufficiente ma non necessria, cioè può non esistere il limite del rapporto delle derivate pur esistendo il limite del rapporto fra le funzioni.
 
Può essere utilizzato anche per funzioni del tipo: <math>y = f(x) \cdot g(x)</math>, scrivendole come: <math> y = \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}</math>.
 
===Teorema sulla monotonia===
Ricordando che: <math>\forall x_1<x_2</math>
<math>\Rightarrow</math> se: <math>f(x_1) < f(x_2) \rightarrow</math> funzione crescente
::::::::se: <math>f(x_1) \le f(x_2) \rightarrow</math> funzione debolmente crescente
::::::::se: <math>f(x_1) > f(x_2) \rightarrow</math> funzione decrescente
::::::::se: <math>f(x_1) \ge f(x_2) \rightarrow</math> funzione debolmente decrescente
 
Vale che: <math>\forall x_1 < x_2</math>, allora <math>f'(x) = \lim_{x_2 \rightarrow x_1}{\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}}</math>.
 
Tenendo conto che <math>x_2 - x_1</math> è una quantità sempre positiva per ipotesi:
se <math>f'(x) > 0 \Rightarrow f(x_2) - f(x_1) > 0 \Rightarrow</math> la funzione è crescente
se <math>f'(x) < 0 \Rightarrow f(x_2) - f(x_1) < 0 \Rightarrow</math> la funzione è decrescente
 
Il teorema non è direttamente invertibile, ma vale:
se la funzione è crescente <math>\Rightarrow f'(x) \ge 0</math>
se la funzione è decrescente <math>\Rightarrow f'(x) \le 0</math>
 
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