Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Derivate"

completati alcuni capitoli
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(completati alcuni capitoli)
 
Notando che: <math>+ f(x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x) = 0</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
 
 
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x)}{\Delta x}} =</math>
 
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x + \Delta x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right] + f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
 
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x + \Delta x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right] \right\} } + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left\{ f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
 
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(x + \Delta x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} =</math>
 
 
:<math> = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)</math>
 
:c.v.d
 
 
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( \frac{f(x + \Delta x)}{g(x +\Delta x} \right) - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}}{\Delta x}} =</math>
 
 
Notando che: <math>+ f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x) = 0</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
 
 
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x) + f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x)}{\Delta x}} =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right] - f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
:<math>\frac{1}{\left[ g(x) \right]^2} \cdot \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x +\Delta x - f(x)}{\Delta x}} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} \right] =</math>
:<math> = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{\left[ g(x) \right]^2}</math>
:c.v.d.
 
===Derivata di una funzione di funzione===
 
Innanzitutto, con 'funzione di funzione' si intende una funzione del tipo: <math>y = (f(g(x))</math>, cioè qualcosa ottenuto da un' operazione del tipo: <math>x \to g(x) = z \to f(z) = y</math>.
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right] - f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
 
La derivata di una tale funzione può essere ricavata nel modo seguente:
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}}</math>
 
:Notando che <math>\frac{1}{\left[ g(x) \right]^2}= \cdotz</math> \left[e \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{<math>g(x)} \cdot+ \lim_{\Delta x) \rightarrow= 0}{\frac{f(xz + \Delta xz</math> -e, f(x)}{quindi, <math>\Delta z = g(x}} -+ \lim_{\Delta x) \rightarrow- 0}{fg(x)}</math>, \cdote \lim_{che <math>\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(x + \DeltaLeftrightarrow x) - g(x)}{\Delta x}}z \right]rightarrow =0</math>, si può allora scrivere:
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left( \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta x} \cdot \frac{\Delta z}{\Delta z} \right)} = </math>
:<math>\lim_{\Delta z \rightarrow 0}{\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \left( = \frac{\Delta z}{\Delta x} \right)} = f'(z) \cdot g'(x)</math>
 
===Derivata di una funzione esponenziale===
:<math> = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{\left[ g(x) \right]^2}</math>
 
Una funzione esponenziale si presenta in questo modo:<math>y = \left[ f(x) \right]^{g(x)}</math>. Per calcolare la derivata di una funzione di questo tipo, è sufficiente ricordare che <math>e^{\ln a} = a</math>, e quindi scrivere l' equazione in questa nuova forma, assolutamente equivalente alla precedente: <math>y = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}</math>. Ora essa può essere considerata come una funzione del tipo <math>y = e^x</math>, e derivata come tale, ricordando che poichè al posto di x è presente una funzione <math>g(x) \cdot \ln f(x)</math>, si deve applicare la formula per la derivata di una funzione di funzione.
:c.v.d.
 
===Derivata dell' inverso di una funzione===
 
Definita l' inverso di una funzione <math>y = f(x)</math> come <math>x = F(y)</math>, la sua derivata vale <math>F'(y) = \frac{1}{f'(x)}</math> per ogni punto in cui la funzione è definita e la sua derivata prima non è nulla.
 
Con semplici considerazioni geometriche, si nota come <math>F'(y)</math> rappresenti la cotangente goniometrica dell' angolo da essa formato con il semiasse positivo delle x, quindi: <math>F'(y) = \frac{1}{\tan \alpha}</math>
 
==Derivate fondamentali==
*<u>'''<math>y = x</math></u>
*:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta x}} = 1 \Rightarrow y' = 1</math>
*<u>'''<math>y = x^n</math></u>, con <math> n \in N_0\mathbb{N}_0</math>
*::<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}} =</math>
*:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( x^n + n \cdot x^{n - 1} \cdot (\Delta x) + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x)^2 + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 1} + (\Delta x)^n \right) - x^n}{\Delta x}} =</math>
*::<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>
*:Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo <math>y = \sqrt[3]{f(x)}</math>). Infatti, la radice ''n''-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza <math>\frac{1}{n}</math>. Cioè: <math>\sqrt[n]{f(x)} = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}</math>. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.
*<u><math>y = a^x</math></u>, con <math>a \in \mathbb{R}^{+}</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot \left(a^{\Delta x - 1} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} </math>
*:Ricordando che: <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = \log_e a</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
 
==Differenziale di una funzione==
 
Definito <math>\Delta y</math> come <math>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</math>, allora vale: <math>\Delta x \rightarrow 0 \Leftrightarrow \Delta y \rightarrow (f(x) - f(x)) = 0</math>. Sono pertanto due infinitesimi, che possono essere confrontati. Il loro confronto coincide, se finito, con la derivata prima della funzione. Questo giustifica il seguente modo di scrivere la derivata:
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = f'(x)</math>
 
Da cui, scrivendo (come si dice) fuori dal segno di limite:
:<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) + \varepsilon(\Delta x) \Rightarrow \Delta y = f'(x) \cdot \Delta x + f'(x) \cdot \varepsilon(\Delta x)</math>
 
<math>f'(x) \cdot \Delta x</math> è la parte principale dell' infinitesimo <math> \Delta y</math>, mentre <math>f'(x) \cdot \varepsilon(\Delta x)</math> è la parte complementare di tale infinitesimo, che può pertanto essere ignorata.
 
Si dice differenziale di una funzione, e si indica con dy la parte principale dell' infinitesimo <math>\Delta y</math>, cioè: <math>f'(x) \cdot \Delta x</math>.
 
Se si considera la funzione <math>y = x</math>, allora <math>dy = dx</math>, e quindi:
:<math>dy = dx = 1 \cdot \Delta x = \Delta x \Rightarrow dx = \Delta x</math>
 
Alla luce di ciò, si può scrivere: <math>dy = f'(x) \cdot dx</math>, e dare una nuova definizione della derivata, cioè: <math>f'(x) = \frac{dy}{dx}</math>.
 
Sostituendo il differenziale all' incremento (cioè, come si dice, confondendo l' uno con l' altro), si commette un errore che vale, se considerato <math>dy</math> e <math>\Delta y</math>: <math>\Delta x \cdot \varepsilon(\Delta x)</math>.
 
Geometricamente, significa sostituire al grafico della curva quello della sua tangente. Naturalmente, poichè la derivata rimane pur sempre un limite, l' errore commesso è infinitesimale appunto, e può perciò essere ignorato.
 
==Legami fra derivabilità e continuità==
 
Una funzione per essere derivabile (in un punto o in un intervallo), deve essere continua (in quel punto o in quell' intervallo). Perciò una funzione è continua nei punti in cui è derivabile. Di ciò se ne può fornire una dimostrazione, considerando la funzione in un punto <math>x_0</math>:
:<math>f'(x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}} \Rightarrow \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0) + \varepsilon(\Delta x)</math>
 
 
:<math>f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (\Delta x) \cdot \left[ f'(x_0) + \varepsilon(\Delta x) \right] </math>
 
 
:<math>\Rightarrow \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0 + \Delta x)} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{(\Delta x) \cdot \left[ f'(x_0) + \varepsilon(\Delta x) \right]} </math>
 
 
:<math>\Rightarrow \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0 + \Delta x)} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0)} = 0</math>
 
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0 + \Delta x)} = f(x_0)</math>
 
Da cui segue immediatamente che la funzione è continua. c.v.d.
 
Può capitare, invece, che in alcuni punti o intervalli una funzione sia continua ma non derivabile, come accade, ad esempio, nei punti di cuspide, nei punti angolosi o nei punti di flesso a tangente verticale.
 
==Teoremi sulle funzioni derivabili==
 
 
 
{{Avanzamento|5075%|1819 marzo 2009}}
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