Matematica per le superiori/Derivate: differenze tra le versioni
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==Teoremi sulle derivate==
Date due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e derivabili in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione <math>y = f(x) + g(x)</math>, la derivata prima di tale funzione vale <math>y' = f'(x) + g'(x)</math> per ogni <math>x \in I_C</math>
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Perciò, una costante additiva viene eliminata nella derivazione. Infatti, come si vedrà in seguito, la derivata di una costante vale 0.
▲'''Derivata del prodotto di funzioni'''
Considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e derivabili in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione <math>y = f(x) \cdot g(x)</math>, la derivata prima di tale funzione vale <math>y' = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> per ogni <math>x \in I_C</math>
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Se <math> g(x) = cost \Rightarrow D(f(x) \cdot cost) = cost \cdot f'(x) + f(x) \cdot 0 = cost \cdot f'(x)</math>
▲'''Derivata del quoziente di funzioni'''
Considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e derivabili in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}</math>, la derivata prima di tale funzione vale <math>y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{\left[ g(x) \right]^2}</math> per ogni <math>x \in I_C</math>
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Qui di seguito viene dimostrato il valore di alcune derivate che, d' ora in poi, vengono dati per scontati.
*<u>'''<math>y = cost</math>'''</u>
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{cost - cost}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{0}{\Delta x}} = 0 \Rightarrow y' = 0</math>
*<u>'''<math>y = x</math></u>
*:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta x}} = 1 \Rightarrow y' = 1</math>
*<u>'''<math>y = x^n</math></u>, con <math> n \in N_0</math>
*::<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}} =</math>
*:<math>
*::<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(\Delta x) \cdot \left( n \cdot x^{n - 1} +
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{
*::<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>▼
*:Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo <math>y = \sqrt[3]{f(x)}</math>). Infatti, la radice ''n''-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza <math>\frac{1}{n}</math>. Cioè: <math>\sqrt[n]{f(x)} = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}</math>. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.▼
▲:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(\Delta x) \cdot \left( n \cdot x^{n - 1} + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x) + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 2} + (\Delta x)^{n - 1} \right)}{\Delta x}} =</math>
▲:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{n \cdot x^{n - 1} + (\Delta x) \cdot \left[ \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 3} + (\Delta x)^{n - 2} \right] } = </math>
▲:<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>
▲:Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo <math>y = \sqrt[3]{f(x)}</math>). Infatti, la radice ''n''-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza <math>\frac{1}{n}</math>. Cioè: <math>\sqrt[n]{f(x)} = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}</math>. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.
*<u><math>y = a^x</math></u>, con <math>a \in R^{+}</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot \left(a^{\Delta x - 1} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} </math>
*:Ricordando che: <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = \log_e a</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:▼
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = a^x \cdot \log_ea \Rightarrow y' = a^x \cdot \log_ea</math>▼
▲Ricordando che: <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = \log_e a</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
▲:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = a^x \cdot \log_ea \Rightarrow y' = a^x \cdot \log_ea</math>
*<u><math>y = \log_ax</math></u>
*:Ricordando:▼
*:*la proprietà dei logaritmi per cui <math>\log_c (a) - \log_c(b) = \log_c \left( \frac{a}{b} \right)</math>
▲:Ricordando:
*:*che l' operazione di logaritmo può essere "portata fuori" dal limite, cioè: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\left( \log_ab \right)} = \log_a \left( \lim_{x \rightarrow c}{b} \right)</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \cdot \frac{x}{x} \right]}</math>▼
*::<math>= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} =</math>▼
*::<math> \frac{1}{x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} = \frac{1}{x} \cdot \log_a \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot \log_ae = \frac{1}{x \cdot \ln a} \Rightarrow y' = \frac{1}{x \cdot \ln a}</math>▼
▲:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \cdot \frac{x}{x} \right]}</math>
▲:<math>= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} =</math>
▲:<math> \frac{1}{x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} = \frac{1}{x} \cdot \log_a \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot \log_ae = \frac{1}{x \cdot \ln a} \Rightarrow y' = \frac{1}{x \cdot \ln a}</math>
*<u><math>y = \sin x</math></u>
*:Ricordando la formula di prostaferesi: <math>\sin (p) - \sin (q) = 2 \cdot \sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{p + q}{2} \right)</math>
*:Ricordando
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>▼
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\cos \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = 1 \cdot \cos x \Rightarrow y' = \cos x</math>▼
▲:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
▲:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\cos \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = 1 \cdot \cos x \Rightarrow y' = \cos x</math>
*<u><math>y = \cos x</math></u>
*:Ricordando la formula di prostaferesi: <math>\cos (p) - \cos (q) = -2 \cdot \sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{p + q}{2} \right)</math>
*:Ricordando
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{-2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>▼
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\sin \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = -1 \cdot \sin x </math>▼
*::<math>\Rightarrow y' = - \sin x</math>▼
▲:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{-2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
▲:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\sin \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = -1 \cdot \sin x </math>
▲:<math>\Rightarrow y' = - \sin x</math>
*<u><math>y = \tan x</math></u>
*:Poichè: <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math>
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