Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Derivate"

m
fix
(concluse le derivate fondamentali)
m (fix)
 
==Teoremi sulle derivate==
'''===Derivata della somma di funzioni'''===
 
Date due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e derivabili in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione <math>y = f(x) + g(x)</math>, la derivata prima di tale funzione vale <math>y' = f'(x) + g'(x)</math> per ogni <math>x \in I_C</math>
Perciò, una costante additiva viene eliminata nella derivazione. Infatti, come si vedrà in seguito, la derivata di una costante vale 0.
 
'''===Derivata del prodotto di funzioni'''===
 
 
'''Derivata del prodotto di funzioni'''
 
Considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e derivabili in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione <math>y = f(x) \cdot g(x)</math>, la derivata prima di tale funzione vale <math>y' = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> per ogni <math>x \in I_C</math>
Se <math> g(x) = cost \Rightarrow D(f(x) \cdot cost) = cost \cdot f'(x) + f(x) \cdot 0 = cost \cdot f'(x)</math>
 
'''===Derivata del quoziente di funzioni'''===
 
 
'''Derivata del quoziente di funzioni'''
 
Considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e derivabili in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}</math>, la derivata prima di tale funzione vale <math>y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{\left[ g(x) \right]^2}</math> per ogni <math>x \in I_C</math>
 
Qui di seguito viene dimostrato il valore di alcune derivate che, d' ora in poi, vengono dati per scontati.
 
 
*<u>'''<math>y = cost</math>'''</u>
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{cost - cost}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{0}{\Delta x}} = 0 \Rightarrow y' = 0</math>
 
 
*<u>'''<math>y = x</math></u>
*:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta x}} = 1 \Rightarrow y' = 1</math>
 
 
*<u>'''<math>y = x^n</math></u>, con <math> n \in N_0</math>
*::<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}} =</math>
*:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left(\Delta x)^n \cdot \left(+ n \cdot x^{n - 1} \cdot (\Delta x) + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x)^2 + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 21} + (\Delta x)^{n - 1} \right) - x^n}{\Delta x}} =</math>
 
*::<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(\Delta x) \cdot \left( n \cdot x^{n - 1} + (\Delta x) \cdot \left[ \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x) + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 32} + (\Delta x)^{n - 21} \right])}{\Delta x}} = </math>
 
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( x^n + n \cdot x^{n - 1} \cdot+ (\Delta x) +\cdot \left[ \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x)^2 + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 13} + (\Delta x)^{n \right) - x^n2}{ \Deltaright] x}} = </math>
*::<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>
 
*:Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo <math>y = \sqrt[3]{f(x)}</math>). Infatti, la radice ''n''-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza <math>\frac{1}{n}</math>. Cioè: <math>\sqrt[n]{f(x)} = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}</math>. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.
 
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(\Delta x) \cdot \left( n \cdot x^{n - 1} + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x) + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 2} + (\Delta x)^{n - 1} \right)}{\Delta x}} =</math>
 
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{n \cdot x^{n - 1} + (\Delta x) \cdot \left[ \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 3} + (\Delta x)^{n - 2} \right] } = </math>
 
 
:<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>
 
:Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo <math>y = \sqrt[3]{f(x)}</math>). Infatti, la radice ''n''-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza <math>\frac{1}{n}</math>. Cioè: <math>\sqrt[n]{f(x)} = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}</math>. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.
 
*<u><math>y = a^x</math></u>, con <math>a \in R^{+}</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot \left(a^{\Delta x - 1} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} </math>
*:Ricordando che: <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = \log_e a</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
 
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = a^x \cdot \log_ea \Rightarrow y' = a^x \cdot \log_ea</math>
 
Ricordando che: <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = \log_e a</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
 
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = a^x \cdot \log_ea \Rightarrow y' = a^x \cdot \log_ea</math>
 
 
*<u><math>y = \log_ax</math></u>
*:Ricordando:
 
*:*la proprietà dei logaritmi per cui <math>\log_c (a) - \log_c(b) = \log_c \left( \frac{a}{b} \right)</math>
:Ricordando:
:*:*lache proprietà<math>\frac{x}{x} dei= logaritmi per1</math> cuie <math>\log_c (a) - \log_c(b)cdot 1 = a \log_cRightarrow a \left(cdot \frac{ax}{bx} \right)= 1</math>
*:*che l' operazione di logaritmo può essere "portata fuori" dal limite, cioè: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\left( \log_ab \right)} = \log_a \left( \lim_{x \rightarrow c}{b} \right)</math>
::*che <math>\frac{x}{x} = 1</math> e <math>a \cdot 1 = a \Rightarrow a \cdot \frac{x}{x} = 1</math>
:*:*che l' operazione di logaritmo può essere "portata fuori" dalil limite, cioènotevole: <math> \lim_{\Delta x \rightarrow c0}{\left( \log_ab1 \right)} =+ \log_a frac{\left(Delta x}{x}\lim_right)^{\frac{x }{\rightarrowDelta cx}}{b} \right)= e</math>
:*:*la formula per il limitecambio notevoledi base dei logaritmi: <math>\log_ab = \lim_frac{\Delta x \rightarrow 0log_cb}{\left(log_ca} 1 +\Rightarrow \frac{\Deltalog_ab = x}{x}\right)^{\frac{x1}{\Delta xlog_ba}}} = e</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \cdot \frac{x}{x} \right]}</math>
::*la formula per il cambio di base dei logaritmi: <math>\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca} \Rightarrow \log_ab = \frac{1}{\log_ba}</math>
*::<math>= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} =</math>
 
*::<math> \frac{1}{x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} = \frac{1}{x} \cdot \log_a \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot \log_ae = \frac{1}{x \cdot \ln a} \Rightarrow y' = \frac{1}{x \cdot \ln a}</math>
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{\Delta x} \cdot \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \cdot \frac{x}{x} \right]}</math>
 
 
:<math>= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[ \frac{x}{\Delta x} \cdot \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \right]} =</math>
 
 
:<math> \frac{1}{x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} = \frac{1}{x} \cdot \log_a \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot \log_ae = \frac{1}{x \cdot \ln a} \Rightarrow y' = \frac{1}{x \cdot \ln a}</math>
 
 
*<u><math>y = \sin x</math></u>
*:Ricordando la formula di prostaferesi: <math>\sin (p) - \sin (q) = 2 \cdot \sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{p + q}{2} \right)</math>
 
*:Ricordando lail formulalimite di prostaferesinotevole: <math>\sin (p) -lim_{x \sin (q) = 2rightarrow c}{\cdot frac{\sin \left( \frac{p - qa)}{2a}} \right)= \cdot \cos \left( \frac{p + q}{2} \right)1</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
:Ricordando il limite notevole: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{\sin (a)}{a}} = 1</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\cos \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = 1 \cdot \cos x \Rightarrow y' = \cos x</math>
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
 
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\cos \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = 1 \cdot \cos x \Rightarrow y' = \cos x</math>
 
 
*<u><math>y = \cos x</math></u>
*:Ricordando la formula di prostaferesi: <math>\cos (p) - \cos (q) = -2 \cdot \sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{p + q}{2} \right)</math>
 
*:Ricordando lail formulalimite di prostaferesinotevole: <math>\cos (p) -lim_{x \cos (q) = -2 \cdot \sin \left(rightarrow c}{\frac{p - q}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{p + qa)}{2a}} \right)= 1</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{-2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
:Ricordando il limite notevole: <math>\lim_{x \rightarrow c}{\frac{\sin (a)}{a}} = 1</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\sin \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = -1 \cdot \sin x </math>
 
*::<math>\Rightarrow y' = - \sin x</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sin (x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{-2 \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x - x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x + \Delta x + x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = </math>
 
 
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left(\frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot x + \Delta x}{2} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{- \frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\sin \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right)} = -1 \cdot \sin x </math>
 
:<math>\Rightarrow y' = - \sin x</math>
 
 
*<u><math>y = \tan x</math></u>
*:Poichè: <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math>
 
*:Poichè: <math>\tanRightarrow y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x (- \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x </math>
:<math>\Rightarrow y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x (- \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x </math>
 
 
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