Matematica per le superiori/Derivate: differenze tra le versioni
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completati i teoremi sulle derivate |
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==Derivate fondamentali==
Qui di seguito viene dimostrato il valore di alcune derivate che, d' ora in poi, vengono dati per scontati.
'''<math>y = cost</math>'''
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{cost - cost}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{0}{\Delta x}} = 0 \Rightarrow y' = 0</math>
'''<math>y = x</math>
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta x}} = 1 \Rightarrow y' = 1</math>
'''<math>y = x^n</math>
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}} =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( x^n + n \cdot x^{n - 1} \cdot (\Delta x) + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x)^2 + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 1} + (\Delta x)^n \right) - x^n}{\Delta x}} =</math>
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(\Delta x) \cdot \left( n \cdot x^{n - 1} + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x) + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 2} + (\Delta x)^{n - 1} \right)}{\Delta x}} =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{n \cdot x^{n - 1} + (\Delta x) \cdot \left[ \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 3} + (\Delta x)^{n - 2} \right] } = </math>
:<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>
==Legami fra derivabilità e continuità==
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