Matematica per le superiori/Derivate: differenze tra le versioni
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:<math>= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)} =</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} = f'(x) + g'(x)</math>
:c.v.d.
Può essere generalizzato per un qualsiasi numero di funzioni sommate fra di loro, quindi vale anche:
:<math> y = f(x) + g(x) + h(x) \Rightarrow y' = f'(x) + g'(x) + h'(x)</math>
''Caso particolare''
Se <math>g(x) = cost \Rightarrow y = f(x) + cost \Rightarrow y' = f(x) + 0 = f(x)</math>
Perciò, una costante additiva viene eliminata nella derivazione. Infatti, come si vedrà in seguito, la derivata di una costante vale 0.
'''Derivata del prodotto di funzioni'''
Considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e derivabili in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione <math>y = f(x) \cdot g(x)</math>, la derivata prima di tale funzione vale <math>y' = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> per ogni <math>x \in I_C</math>
Cioè: la derivata del prodotto di più funzioni è la somma dei singoli prodotti di una funzione derivata per tutte le altre non derivate.
Può essere generalizzato a più funzioni, cioè:
:<math> y = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \Rightarrow y' = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + g'(x) \cdot f(x) \cdot h(x) + h'(x) \cdot f(x) \cdot g(x)</math>
''Dimostrazione''
Per la definizione di derivata:
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(f(x + \Delta x) \cdot g(x + \Delta x)) - (f(x) \cdot g(x))}{\Delta x}} =</math>
Notando che: <math>+ f(x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x) = 0</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x)}{\Delta x}} =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x + \Delta x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right] + f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x + \Delta x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right] \right\} } + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left\{ f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(x + \Delta x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} =</math>
:<math> = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)</math>
:c.v.d
''Caso particolare''
Se <math> g(x) = cost \Rightarrow D(f(x) \cdot cost) = cost \cdot f'(x) + f(x) \cdot 0 = cost \cdot f'(x)</math>
'''Derivata del quoziente di funzioni'''
Considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e derivabili in un intorno <math>I_C</math> del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}</math>, la derivata prima di tale funzione vale <math>y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{\left[ g(x) \right]^2}</math> per ogni <math>x \in I_C</math>
''Dimostrazione''
Per la definizione di derivata:
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( \frac{f(x + \Delta x)}{g(x +\Delta x} \right) - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}}{\Delta x}} =</math>
Notando che: <math>+ f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x) = 0</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x) + f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x)}{\Delta x}} =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right] - f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
:<math>\frac{1}{\left[ g(x) \right]^2} \cdot \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x +\Delta x - f(x)}{\Delta x}} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} \right] =</math>
:<math> = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{\left[ g(x) \right]^2}</math>
:c.v.d.
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