Fondamenti di automatica/Controllo di sistemi lineari: differenze tra le versioni

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=== Specifiche di progetto ===
Ci si riferisce alle \emph{'''specifiche di progetto}''' intendendo la descrizione di ciò che un sistema deve o non deve fare e come
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 665, sezione 10-1-1: Design specifications}</ref>
 
Queste sono riferite in termini di stabilità relativa, accuratezza ed errore a regime, risposta transitoria, caratteristiche della risposta in frequenza, sensibilità alla variazione dei parametri;
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=== Controllo in anello aperto ===
\`E&Egrave; applicabile solo se il sistema è noto con precisione,
poiché una piccola variazione del sistema non è gestita dal controllore
 
 
=== Controllo in ciclo chiuso ===
\vedilibro{rif:c}{<ref>Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 366, sezione 10.6: Feedback compensation}</ref>
 
==== Polinomio caratteristico in ciclo chiuso ====
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Per sistemi di ordine superiore non è sufficente che i coefficenti siano tutti dello stesso segno, si usa il criterio di Routh
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 488, sezione 8-3-8: Intersection of the root loci with the imaginary axis}</ref>
 
==== Funzione di trasferimento in ciclo chiuso ====
Riga 44:
 
=== Schema di controllo standard ===
Definiamo \emph{'''schema di controllo standard}''' il controllo di un sistema con funzione di trasferimento <math>G(s)</math>
lineare tempoinvariante e causale
stabile o meno
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definiamo i segnali:
 
\begin{itemize}
* <math>r(t)</math>: il segnale di riferimento in ingresso al sistema globale
\item
* <math>y(t)</math>: il segnale in uscita dal sistema e che viene retroazionato all'ingresso
<math>r(t)</math>:
* <math>\epsilon (t)</math>: il segnale di riferimentoerrore <math>y(t) - r(t)</math> che entra in ingresso al sistema globalecontrollore
* <math>u(t)</math>: il segnale in uscita dal controllore e in ingresso al sistema
\item
<math>y(t)</math>:
il segnale in uscita dal sistema e che viene retroazionato all'ingresso
\item
<math>\epsilon (t)</math>:
il segnale di errore <math>y(t) - r(t)</math> che entra in ingresso al controllore
\item
<math>u(t)</math>:
il segnale in uscita dal controllore e in ingresso al sistema
\end{itemize}
 
chiamiamo:
* <math>G(s)</math>: funzione di trasferimento in anello aperto del sistema (da <math>u(t)</math> a <math>y(t)</math>);
\begin{itemize}
* <math>L(s)</math>: pari a <math>K(s)G(s)</math> funzione di trasferimento in anello aperto del sistema controllato (da <math>\epsilon (t)</math> a <math>y(t)</math>);
\item
* <math>C(s)</math>: pari a <math>\frac{L(s)}{1 + L(s)}</math> funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema controllato (da <math>r(t)</math> a <math>y(t)</math>)
<math>G(s)</math>:
detta anche \emph{'''funzione di sensitività complementare}'''
funzione di trasferimento in anello aperto del sistema (da <math>u(t)</math> a <math>y(t)</math>);
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 329, sezione 11.8: Analisi della funzione di sensitività comlementare</ref>;
\item
* <math>S(s)</math>: pari a <math>\frac{1}{1 + L(s)}</math>, funzione di trasferimento ingresso-errore o \emph{'''funzione di sensitività}'''
<math>L(s)</math>:
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 342, sezione 11.9: Analisi della funzione di sensitività</ref>
pari a <math>K(s)G(s)</math> funzione di trasferimento in anello aperto del sistema controllato (da <math>\epsilon (t)</math> a <math>y(t)</math>);
* <math>Q(s)</math>: pari a <math>\frac{K(s)}{1 + L(s)}</math> \emph{'''funzione di sensitività del controllo}'''
\item
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 346, sezione 11.10: Analisi della funzione di sensitività del controllo</ref>
<math>C(s)</math>:
 
pari a <math>\frac{L(s)}{1 + L(s)}</math> funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema controllato (da <math>r(t)</math> a <math>y(t)</math>)
detta anche \emph{funzione di sensitività complementare}
\vedilibro{rif:b}{329, sezione 11.8: Analisi della funzione di sensitività comlementare};
\item
<math>S(s)</math>:
pari a <math>\frac{1}{1 + L(s)}</math>, funzione di trasferimento ingresso-errore o \emph{funzione di sensitività}
\vedilibro{rif:b}{342, sezione 11.9: Analisi della funzione di sensitività}
\item
<math>Q(s)</math>:
pari a <math>\frac{K(s)}{1 + L(s)}</math> \emph{funzione di sensitività del controllo}
\vedilibro{rif:b}{346, sezione 11.10: Analisi della funzione di sensitività del controllo}
\end{itemize}
 
Una struttura di controllo di questo tipo consente di gestire la variazione di parametri del sistema
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 349, sezione 11.11: Prestazioni in condizioni perturbate} </ref>
in caso di errori di modello o di approssimazioni
(cosa che non è garantita da un sistema di controllo in anello aperto)
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Il guadagno nel controllo in ciclo chiuso è talvolta limitato dalla stabilità del sistema;
si definiscono \emph{'''sistemi a stabilità condizionata}'''
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 618, sezione 9-16-1: Conditionally stable system}</ref>
sistemi che se retroazionati con un guadagno troppo elevato diventano instabili;
esiste quindi un intervallo limitato di guadagni possibili.
Line 133 ⟶ 113:
Non è detto che il sistema di controllo standard sia sempre il più corretto,
è anche possibile posizionare più controllori in posizioni differenti
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 443, capitolo 15: Schemi di controllo avanzati}</ref>
 
=== Specifiche qualitative di un sistema di controllo ===
Line 182 ⟶ 162:
Poli complessi coniugati nella funzione di trasferimento in ciclo chiuso danno una risposta al gradino oscillatoria smorzata,
se tutti i poli sono reali, la risposta al gradino è sovrasmorzata (non oscillante), ma se ci sono degli zeri non è detto che la sovraelongazione massima sia nulla
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 670, sezione 10-2-3: Fundamental principes of design}</ref>
 
La risposta del sistema è dominata dai poli più vicini all'origine,
Line 197 ⟶ 177:
==== Aggiunta di poli e zeri ====
Aggiungere uno zero aumenta la banda del sistema in ciclo chiuso
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 551, sezione 9-3: Effects of adding a zero to the forward-path transfer function}</ref>
 
Aggiungere un polo rende il sistema meno stabile e diminuisce la banda
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 555, sezione 9-4: Effects of adding a pole to the forward-path transfer function}</ref>
 
Il luogo delle radici può essere usato per valutare l'effetto dell'aggiunta di poli e zeri al sistema
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 509, sezione 8-5-1: Effect of adding poles and zeros to <math>G(s)H(s)</math>}</ref>
 
=== Controllori PID ===
Un \emph{'''controllore PID}'''
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 708, sezione 10-4: Design with the PID controller}</ref>
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 415, capitolo 14: Regolatori PID</ref>
\vedilibro{rif:b}{415, capitolo 14: Regolatori PID}
è un controllore che è composto da
una componente proporzionale <math>K_{P}</math>,
Line 223 ⟶ 203:
= K_{P}\frac{T_{I}T_{D}s^{2} + T_{I}s + 1}{T_{I}s}
\end{eqnarray}
dove <math>T_{I} = K_{P}/K_{I}</math> è il \emph{'''tempo integrale}''' e <math>T_{D} = K_{D}/K_{P}</math> è il \emph{'''tempo derivativo}''';
 
la sua uscita in funzione dell'ingresso è
Line 237 ⟶ 217:
ha una funzione di trasferimento del tipo
<math>
K_{PID}(s) = \frac{R_{4}}{R_{1}C_{2}R_{3}} \phantom{2}quad \frac{(1+C_{1}R_{1}s) (1+R_{2}C_{2}s)}{s}
</math>
\`E&Egrave; possibile anche una struttura equivalente meccanica di un PID costituita da una molla e da uno smorzatore
 
==== Controllore proporzionale derivativo ====
Un \emph{'''controllore proporzionale derivativo}'''
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 671, sezione 10-2: Design with the PD controller}</ref>
<math>
K_{PD}(s) = K_{P} + K_{D}s = K_{P} \left( 1 + \frac{K_{D}}{K_{P}}s \right)
Line 260 ⟶ 240:
La struttura di un PD implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con <math>C_{1}</math> sostituito con un circuito aperto,
<math>
K_{PD}(s) = \frac{R_{4}R_{2}}{R_{1}R_{3}} \phantom{2}quad \frac{1+C_{1}R_{1}s}{s}
</math>
 
 
==== Controllore proporzionale integrale ====
Un \emph{'''controllore proporzionale integrale}'''
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 691, sezione 10-3: Design with the PI controller}</ref>
<math>
K_{PI}(s) = K_{P} + K_{I}/s = \frac{K_{I}\left(1 + \frac{K_{P}}{K_{I}}s\right)}{s}
Line 274 ⟶ 254:
si comporta come un filtro passa-basso
 
\`E&Egrave; conveniente in fase di progetto mettere lo zero relativamente vicino all'origine e lontano dagli altri poli del sistema,
mantenendo le due costanti <math>K_{P}</math> e <math>K_{I}</math> piccole
 
La struttura di un PI implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con <math>C_{2}</math> sostituito con un circuito chiuso,
<math>
K_{PI}(s) = \frac{R_{4}}{R_{1}C_{2}R_{3}} \phantom{2}quad \frac{1+R_{2}C_{2}s}{s}
</math>
 
 
Un integratore può causare effetti indesiderati se la sua uscita è collegata ad un sistema che ha un livello di saturazione
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 423: sezione 14.3.2: Desaturazione dell'azione integrale}</ref>
:
nel caso che il sistema controllato vada in saturazione,
Line 291 ⟶ 271:
spesso l'integratore è più lento nella sua scarica
e resiste alla variazione,
il fenomeno è detto \emph{'''carica integrale}''' o \emph{'''wind-up}'''
ed il suo effetto è
un aumento del tempo di assestamento del sistema
Line 299 ⟶ 279:
 
==== Metodi di taratura automatica ====
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 430, sezione 14.4: Metodi di taratura automatica}</ref>
 
 
Line 307 ⟶ 287:
(ad esempio se si trascura la dinamica degli attuatori di un sistema).
 
Una funzione <math>F(s) \phantomqquad \mathbb{3C} \Comp \rightarrow \Compmathbb{C}</math> \emph{'''analitica}'''
in un insieme <math>\Omega</math>
(ovvero esiste nell'insieme ed esistono le sue derivate,
<math>F(s)</math> è continua e derivabile infinite volte, <math>F(s) \in C^{\infty}</math>)
soddisfa il \emph{'''teorema di Cauchy}''':
dato un percorso chiuso <math>\Gamma</math> che racchiude poli e zeri di <math>F(s)</math>, percorrendo <math>\Gamma</math> in senso orario una volta, <math>F(s)</math> mappa <math>\Gamma</math> in <math>\Omega</math>
(è detta \emph{'''trasformazione conforme}''')
 
Applichiamo una particolare trasformazione conforme alla funzione di trasferimento <math>G(s)</math> di un sistema,
Line 323 ⟶ 303:
<math>
\frac{1}{\epsilon} e^{j\theta}
\phantom{5}qquad \textrm{per} \phantom{2}quad \theta = -\pi/2 \ldots \pi/2
</math>
 
Il \emph{'''criterio di Nyquist}''' stabilisce che
un sistema è asintoticamente stabile in ciclo chiuso se il suo diagramma di Nyquist accerchia tante volte il punto <math>-1, 0j</math> quanti sono i poli instabili del sistema in anello aperto
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 567, sezione 9-5-6: Nyquist criterion and the L(s) plot}</ref>
 
Se il sistema controllato non ha poli instabili in anello aperto,
Line 335 ⟶ 315:
(il diagramma di Bode attraversa una sola volta l'asse a 0 dB)
allora è necessario e sufficente per l'asintotica stabilità del sistema che il guadagno in anello aperto sia positivo e il margine di fase positivo
(questo è detto \emph{'''criterio di Bode}'''
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 327, sezione 11.7.5: Criterio di Bode}</ref> )
 
=== Reti stabilizzatrici ===
Line 342 ⟶ 322:
questi sono i controllori che possono essere più facilmente utilizzati nella sintesi di un sistema di controllo
e che sono sviluppati con varie tecnologie
\vedilibro{rif:c}{<ref>Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 328, sezione 10.3: Realization of basic compensators}</ref>
 
==== Rete anticipatrice di fase ====
Una \emph{'''rete anticipatrice}'''
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 382, sezione 12.5.1: Rete anticipatrice}</ref>
messa in serie ad un sistema
aggiunge uno zero e un polo a maggiore frequenza al sistema,
aumentando la banda passante e il margine di fase del sistema
\`E&Egrave; descritta dalla funzione di trasferimento
<math>
G(s)_{ra} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s}
Line 376 ⟶ 356:
 
Per dimensionare una rete anticipatrice nell'ottica di un normale progetto di un controllore per un sistema stabile si procede come segue:
 
\begin{enumerate}
*# si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso
\item
*# si costruisce il diagramma di bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso
*# si trova il margine di fase e si valuta di quanto questo deve essere aumentato (meglio abbondare un poco), questo è lo sfasamento massimo <math>\Phi_{ra}</math> della rete
\item
*# si ricava il rapporto <math>\tau/T = \frac{1 + \sin \Phi}{1 - \sin \Phi}</math> della rete dato lo sfasamento massimo
si costruisce il diagramma di bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
*# si ricava il guadagno aggiunto dalla rete <math>A_{ra} = 20 \log_{10} \tau/T</math>
\item
*# si cerca nel diagramma del modulo del sistema la frequenza per cui il guadagno è <math>-A_{ra}</math>,
si trova il margine di fase e si valuta di quanto questo deve essere aumentato (meglio abbondare un poco), questo è lo sfasamento massimo <math>\Phi_{ra}</math> della rete
\item
si ricava il rapporto <math>\tau/T = \frac{1 + \sin \Phi}{1 - \sin \Phi}</math> della rete dato lo sfasamento massimo
\item
si ricava il guadagno aggiunto dalla rete <math>A_{ra} = 20 \log_{10} \tau/T</math>
\item
si cerca nel diagramma del modulo del sistema la frequenza per cui il guadagno è <math>-A_{ra}</math>,
con una certa approssimazione questa sarà la nuova frequenza di taglio <math>\omega_{\pi}</math> del sistema controllato
 
\end{enumerate}
 
Una semplice implementazione elettrica di una rete anticipatrice è composta da due resistenze <math>R_{1}, R_{2}</math> e da un condensatore <math>C_{1}</math>,
Line 400 ⟶ 374:
 
==== Rete ritardatrice di fase ====
Una \emph{'''rete ritardatrice}'''
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 384, sezione 12.5.2: Rete ritardatrice</ref>
\vedilibro{rif:b}{384, sezione 12.5.2: Rete ritardatrice}
messa in serie ad un sistema
aggiunge un polo e uno zero a maggiore frequenza al sistema,
migliorando la precisione statica e garantendo una maggiore attenuazione dei disturbi in bassa frequenza
 
\`E&Egrave; descritta dalla funzione di trasferimento
<math>
G(s)_{rr} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s}
Line 425 ⟶ 399:
 
Per dimensionare una rete ritardatrice nell'ottica di un normale progetto di un controllore per un sistema stabile si procede come segue:
 
\begin{enumerate}
*# si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso
\item
*# si costruisce il diagramma di Bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso
*# si stima la nuova frequenza di taglio <math>\omega_{c}</math> valutando sul diagramma della fase la pulsazione per cui la fase è <math>-180 + PM + 5</math> gradi, dove <math>PM</math> è il margine di fase desiderato e circa 5 gradi sono aggiunti per considerare la diminuzione del guadagno introdotta dalla rete
\item
*# si sceglie lo zero <math>1/\tau</math> una decade circa prima della frequenza di taglio stimata
si costruisce il diagramma di Bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
*# si stima sul diagramma del modulo l'ampiezza <math>A</math> (in dB) della risposta in corrispondenza della frequenza di taglio stimata
\item
*# si stimasceglie la<math>T nuova= frequenza di10^{-\frac{A}{20}}\tau</math> tagliodall'equazione <math>A = 20 \omega_log _{c10} \tau/T</math>
 
valutando sul diagramma della fase la pulsazione per cui la fase è <math>-180 + PM + 5</math> gradi,
dove <math>PM</math> è il margine di fase desiderato e circa 5 gradi sono aggiunti per considerare la diminuzione del guadagno introdotta dalla rete
\item
si sceglie lo zero <math>1/\tau</math> una decade circa prima della frequenza di taglio stimata
\item
si stima sul diagramma del modulo l'ampiezza <math>A</math> (in dB) della risposta in corrispondenza della frequenza di taglio stimata
\item
si sceglie <math>T = 10^{-\frac{A}{20}}\tau</math> dall'equazione <math>A = 20 \log _{10} \tau/T</math>
\end{enumerate}
 
Una semplice implementazione elettrica di una rete ritardatrice è composta da due resistenze <math>R_{3}, R_{4}</math> e da un condensatore <math>C_{2}</math>,
Line 449 ⟶ 415:
 
==== Rete a sella ====
Una \emph{'''rete a sella}''' (detta anche rete di anticipo-ritardo)
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 386, sezione 12.5.3: Rete a sella</ref>
\vedilibro{rif:b}{386, sezione 12.5.3: Rete a sella}
consiste nella serie di una rete anticipatrice e di una rete ritardatrice
ed è descritta dalla seguente funzione di trasferimento
Line 465 ⟶ 431:
 
==== Filtro a spillo ====
il \emph{'''filtro a spillo}''' o filtro notch è una particolare rete a sella in cui i due zeri sono coincidenti
e agisce da filtro elimina-banda;
è usato per eliminare disturbi localizzati in una particolare frequenza
Line 471 ⟶ 437:
=== Assegnamento di poli e zeri ===
Ad un sistema completamente controllabile
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 273, sezione 5-10: Controllability of Lynear Systems}</ref>
e osservabile,
stabile in ciclo chiuso
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è possibile assegnare i poli
con un sistema di controllo in retroazione
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 796, sezione 10-13: Pole-placement design through state feedback}</ref>
 
Si valuta il grado del controllore necessario per rispettare le specifiche di progetto,
Line 491 ⟶ 457:
 
Il metodo della reazione dello stato può essere visto anche applicato ad un sistema MIMO descritto variabili di stato;
si retroaziona (moltiplicato per una matrice K) l'intero stato del sistema in ingresso (è detta \emph{'''reazione totale}'''),
imponendo <math>u(t) = -Kx(t) + r(t)</math>;
ottenendo il sistema
Line 549 ⟶ 515:
bisogna considerare che questa tecnica non consente di stabilirlo con sicurezza nel caso che questo sia finito;
è necessario eventualmente aggiungere integratori in serie al sistema,
\vedilibro{rif:k}{<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 802, sezione 10-14: Stat feedback with integral control}</ref>
(aggiungendo quindi una o più variabili di stato <math>x_{n+1}' = x_{1}</math>)
ottenendo l'asintotica stabilità per il tipo di ingresso desiderato;
Line 596 ⟶ 562:
e dagli ingressi.
 
Tale sistema è detto \emph{'''osservatore di Luenberger}'''
\vedilibro{rif:c}{<ref>Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 509, State variable analysis and design, Observer System}</ref>
(il sistema composto dall'osservatore e dalla matrice di guadagni <math>K</math> è detto \emph{'''compensatore dinamico}'''
ed è tale da fornire in uscita un vettore <math>\zeta(t)</math> tale che
<math>\lim_{t \rightarrow \infty} \zeta(t) - x(t) = 0</math>
Line 648 ⟶ 614:
</math>
le due matrici della dinamica del sistema e dell'osservatore sono indipendenti
(\emph{'''principio di separazione}''');
la funzione di trasferimento del compensatore dinamico è
<math>K(sI - A + BK + K_{F}C)^{-1}K_{F}</math>
 
Nel caso (frequente) che alcune variabili di stato siano disponibili in uscita, l'osservatore è ovviamente un cortocircuito rispetto ad esse
(\emph{'''osservatore ridotto}''' con dinamica <math>n_{x} - n_{y}</math>)
 
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