Fondamenti di automatica/Controllo di sistemi lineari: differenze tra le versioni
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=== Specifiche di progetto ===
Ci si riferisce alle
Queste sono riferite in termini di stabilità relativa, accuratezza ed errore a regime, risposta transitoria, caratteristiche della risposta in frequenza, sensibilità alla variazione dei parametri;
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=== Controllo in anello aperto ===
poiché una piccola variazione del sistema non è gestita dal controllore
=== Controllo in ciclo chiuso ===
==== Polinomio caratteristico in ciclo chiuso ====
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Per sistemi di ordine superiore non è sufficente che i coefficenti siano tutti dello stesso segno, si usa il criterio di Routh
==== Funzione di trasferimento in ciclo chiuso ====
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=== Schema di controllo standard ===
Definiamo
lineare tempoinvariante e causale
stabile o meno
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definiamo i segnali:
* <math>r(t)</math>: il segnale di riferimento in ingresso al sistema globale
* <math>y(t)</math>: il segnale in uscita dal sistema e che viene retroazionato all'ingresso▼
* <math>\epsilon (t)</math>: il segnale di
* <math>u(t)</math>: il segnale in uscita dal controllore e in ingresso al sistema▼
▲il segnale in uscita dal sistema e che viene retroazionato all'ingresso
▲il segnale in uscita dal controllore e in ingresso al sistema
chiamiamo:
* <math>G(s)</math>: funzione di trasferimento in anello aperto del sistema (da <math>u(t)</math> a <math>y(t)</math>);▼
* <math>L(s)</math>: pari a <math>K(s)G(s)</math> funzione di trasferimento in anello aperto del sistema controllato (da <math>\epsilon (t)</math> a <math>y(t)</math>);▼
* <math>C(s)</math>: pari a <math>\frac{L(s)}{1 + L(s)}</math> funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema controllato (da <math>r(t)</math> a <math>y(t)</math>) ▼
▲funzione di trasferimento in anello aperto del sistema (da <math>u(t)</math> a <math>y(t)</math>);
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 329, sezione 11.8: Analisi della funzione di sensitività comlementare</ref>;
* <math>S(s)</math>: pari a <math>\frac{1}{1 + L(s)}</math>, funzione di trasferimento ingresso-errore o
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 342, sezione 11.9: Analisi della funzione di sensitività</ref>
▲pari a <math>K(s)G(s)</math> funzione di trasferimento in anello aperto del sistema controllato (da <math>\epsilon (t)</math> a <math>y(t)</math>);
* <math>Q(s)</math>: pari a <math>\frac{K(s)}{1 + L(s)}</math>
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 346, sezione 11.10: Analisi della funzione di sensitività del controllo</ref>
▲pari a <math>\frac{L(s)}{1 + L(s)}</math> funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema controllato (da <math>r(t)</math> a <math>y(t)</math>)
▲detta anche \emph{funzione di sensitività complementare}
▲pari a <math>\frac{1}{1 + L(s)}</math>, funzione di trasferimento ingresso-errore o \emph{funzione di sensitività}
▲pari a <math>\frac{K(s)}{1 + L(s)}</math> \emph{funzione di sensitività del controllo}
Una struttura di controllo di questo tipo consente di gestire la variazione di parametri del sistema
in caso di errori di modello o di approssimazioni
(cosa che non è garantita da un sistema di controllo in anello aperto)
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Il guadagno nel controllo in ciclo chiuso è talvolta limitato dalla stabilità del sistema;
si definiscono
sistemi che se retroazionati con un guadagno troppo elevato diventano instabili;
esiste quindi un intervallo limitato di guadagni possibili.
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Non è detto che il sistema di controllo standard sia sempre il più corretto,
è anche possibile posizionare più controllori in posizioni differenti
=== Specifiche qualitative di un sistema di controllo ===
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Poli complessi coniugati nella funzione di trasferimento in ciclo chiuso danno una risposta al gradino oscillatoria smorzata,
se tutti i poli sono reali, la risposta al gradino è sovrasmorzata (non oscillante), ma se ci sono degli zeri non è detto che la sovraelongazione massima sia nulla
La risposta del sistema è dominata dai poli più vicini all'origine,
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==== Aggiunta di poli e zeri ====
Aggiungere uno zero aumenta la banda del sistema in ciclo chiuso
Aggiungere un polo rende il sistema meno stabile e diminuisce la banda
Il luogo delle radici può essere usato per valutare l'effetto dell'aggiunta di poli e zeri al sistema
=== Controllori PID ===
Un
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 415, capitolo 14: Regolatori PID</ref>
è un controllore che è composto da
una componente proporzionale <math>K_{P}</math>,
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= K_{P}\frac{T_{I}T_{D}s^{2} + T_{I}s + 1}{T_{I}s}
\end{eqnarray}
dove <math>T_{I} = K_{P}/K_{I}</math> è il
la sua uscita in funzione dell'ingresso è
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ha una funzione di trasferimento del tipo
<math>
K_{PID}(s) = \frac{R_{4}}{R_{1}C_{2}R_{3}} \
</math>
==== Controllore proporzionale derivativo ====
Un
<math>
K_{PD}(s) = K_{P} + K_{D}s = K_{P} \left( 1 + \frac{K_{D}}{K_{P}}s \right)
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La struttura di un PD implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con <math>C_{1}</math> sostituito con un circuito aperto,
<math>
K_{PD}(s) = \frac{R_{4}R_{2}}{R_{1}R_{3}} \
</math>
==== Controllore proporzionale integrale ====
Un
<math>
K_{PI}(s) = K_{P} + K_{I}/s = \frac{K_{I}\left(1 + \frac{K_{P}}{K_{I}}s\right)}{s}
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si comporta come un filtro passa-basso
mantenendo le due costanti <math>K_{P}</math> e <math>K_{I}</math> piccole
La struttura di un PI implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con <math>C_{2}</math> sostituito con un circuito chiuso,
<math>
K_{PI}(s) = \frac{R_{4}}{R_{1}C_{2}R_{3}} \
</math>
Un integratore può causare effetti indesiderati se la sua uscita è collegata ad un sistema che ha un livello di saturazione
:
nel caso che il sistema controllato vada in saturazione,
Line 291 ⟶ 271:
spesso l'integratore è più lento nella sua scarica
e resiste alla variazione,
il fenomeno è detto
ed il suo effetto è
un aumento del tempo di assestamento del sistema
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==== Metodi di taratura automatica ====
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(ad esempio se si trascura la dinamica degli attuatori di un sistema).
Una funzione <math>F(s) \
in un insieme <math>\Omega</math>
(ovvero esiste nell'insieme ed esistono le sue derivate,
<math>F(s)</math> è continua e derivabile infinite volte, <math>F(s) \in C^{\infty}</math>)
soddisfa il
dato un percorso chiuso <math>\Gamma</math> che racchiude poli e zeri di <math>F(s)</math>, percorrendo <math>\Gamma</math> in senso orario una volta, <math>F(s)</math> mappa <math>\Gamma</math> in <math>\Omega</math>
(è detta
Applichiamo una particolare trasformazione conforme alla funzione di trasferimento <math>G(s)</math> di un sistema,
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<math>
\frac{1}{\epsilon} e^{j\theta}
\
</math>
Il
un sistema è asintoticamente stabile in ciclo chiuso se il suo diagramma di Nyquist accerchia tante volte il punto <math>-1, 0j</math> quanti sono i poli instabili del sistema in anello aperto
Se il sistema controllato non ha poli instabili in anello aperto,
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(il diagramma di Bode attraversa una sola volta l'asse a 0 dB)
allora è necessario e sufficente per l'asintotica stabilità del sistema che il guadagno in anello aperto sia positivo e il margine di fase positivo
(questo è detto
=== Reti stabilizzatrici ===
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questi sono i controllori che possono essere più facilmente utilizzati nella sintesi di un sistema di controllo
e che sono sviluppati con varie tecnologie
==== Rete anticipatrice di fase ====
Una
messa in serie ad un sistema
aggiunge uno zero e un polo a maggiore frequenza al sistema,
aumentando la banda passante e il margine di fase del sistema
<math>
G(s)_{ra} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s}
Line 376 ⟶ 356:
Per dimensionare una rete anticipatrice nell'ottica di un normale progetto di un controllore per un sistema stabile si procede come segue:
*# si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso▼
*# si costruisce il diagramma di bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno▼
▲si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso
*# si trova il margine di fase e si valuta di quanto questo deve essere aumentato (meglio abbondare un poco), questo è lo sfasamento massimo <math>\Phi_{ra}</math> della rete▼
*# si ricava il rapporto <math>\tau/T = \frac{1 + \sin \Phi}{1 - \sin \Phi}</math> della rete dato lo sfasamento massimo▼
▲si costruisce il diagramma di bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
*# si ricava il guadagno aggiunto dalla rete <math>A_{ra} = 20 \log_{10} \tau/T</math> ▼
*# si cerca nel diagramma del modulo del sistema la frequenza per cui il guadagno è <math>-A_{ra}</math>, ▼
▲si trova il margine di fase e si valuta di quanto questo deve essere aumentato (meglio abbondare un poco), questo è lo sfasamento massimo <math>\Phi_{ra}</math> della rete
▲si ricava il rapporto <math>\tau/T = \frac{1 + \sin \Phi}{1 - \sin \Phi}</math> della rete dato lo sfasamento massimo
▲si ricava il guadagno aggiunto dalla rete <math>A_{ra} = 20 \log_{10} \tau/T</math>
▲si cerca nel diagramma del modulo del sistema la frequenza per cui il guadagno è <math>-A_{ra}</math>,
con una certa approssimazione questa sarà la nuova frequenza di taglio <math>\omega_{\pi}</math> del sistema controllato
Una semplice implementazione elettrica di una rete anticipatrice è composta da due resistenze <math>R_{1}, R_{2}</math> e da un condensatore <math>C_{1}</math>,
Line 400 ⟶ 374:
==== Rete ritardatrice di fase ====
Una
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 384, sezione 12.5.2: Rete ritardatrice</ref>
messa in serie ad un sistema
aggiunge un polo e uno zero a maggiore frequenza al sistema,
migliorando la precisione statica e garantendo una maggiore attenuazione dei disturbi in bassa frequenza
<math>
G(s)_{rr} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s}
Line 425 ⟶ 399:
Per dimensionare una rete ritardatrice nell'ottica di un normale progetto di un controllore per un sistema stabile si procede come segue:
*# si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso▼
*# si costruisce il diagramma di Bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno▼
▲si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso
*# si stima la nuova frequenza di taglio <math>\omega_{c}</math> valutando sul diagramma della fase la pulsazione per cui la fase è <math>-180 + PM + 5</math> gradi, dove <math>PM</math> è il margine di fase desiderato e circa 5 gradi sono aggiunti per considerare la diminuzione del guadagno introdotta dalla rete▼
*# si sceglie lo zero <math>1/\tau</math> una decade circa prima della frequenza di taglio stimata▼
▲si costruisce il diagramma di Bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
*# si stima sul diagramma del modulo l'ampiezza <math>A</math> (in dB) della risposta in corrispondenza della frequenza di taglio stimata ▼
*# si
▲dove <math>PM</math> è il margine di fase desiderato e circa 5 gradi sono aggiunti per considerare la diminuzione del guadagno introdotta dalla rete
▲si sceglie lo zero <math>1/\tau</math> una decade circa prima della frequenza di taglio stimata
▲si stima sul diagramma del modulo l'ampiezza <math>A</math> (in dB) della risposta in corrispondenza della frequenza di taglio stimata
Una semplice implementazione elettrica di una rete ritardatrice è composta da due resistenze <math>R_{3}, R_{4}</math> e da un condensatore <math>C_{2}</math>,
Line 449 ⟶ 415:
==== Rete a sella ====
Una
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 386, sezione 12.5.3: Rete a sella</ref>
consiste nella serie di una rete anticipatrice e di una rete ritardatrice
ed è descritta dalla seguente funzione di trasferimento
Line 465 ⟶ 431:
==== Filtro a spillo ====
il
e agisce da filtro elimina-banda;
è usato per eliminare disturbi localizzati in una particolare frequenza
Line 471 ⟶ 437:
=== Assegnamento di poli e zeri ===
Ad un sistema completamente controllabile
e osservabile,
stabile in ciclo chiuso
Line 477 ⟶ 443:
è possibile assegnare i poli
con un sistema di controllo in retroazione
Si valuta il grado del controllore necessario per rispettare le specifiche di progetto,
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Il metodo della reazione dello stato può essere visto anche applicato ad un sistema MIMO descritto variabili di stato;
si retroaziona (moltiplicato per una matrice K) l'intero stato del sistema in ingresso (è detta
imponendo <math>u(t) = -Kx(t) + r(t)</math>;
ottenendo il sistema
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bisogna considerare che questa tecnica non consente di stabilirlo con sicurezza nel caso che questo sia finito;
è necessario eventualmente aggiungere integratori in serie al sistema,
(aggiungendo quindi una o più variabili di stato <math>x_{n+1}' = x_{1}</math>)
ottenendo l'asintotica stabilità per il tipo di ingresso desiderato;
Line 596 ⟶ 562:
e dagli ingressi.
Tale sistema è detto
(il sistema composto dall'osservatore e dalla matrice di guadagni <math>K</math> è detto
ed è tale da fornire in uscita un vettore <math>\zeta(t)</math> tale che
<math>\lim_{t \rightarrow \infty} \zeta(t) - x(t) = 0</math>
Line 648 ⟶ 614:
</math>
le due matrici della dinamica del sistema e dell'osservatore sono indipendenti
(
la funzione di trasferimento del compensatore dinamico è
<math>K(sI - A + BK + K_{F}C)^{-1}K_{F}</math>
Nel caso (frequente) che alcune variabili di stato siano disponibili in uscita, l'osservatore è ovviamente un cortocircuito rispetto ad esse
(
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