Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni: differenze tra le versioni
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= \frac{1}{\frac{s^{2}}{\omega_{n}^{2}}+2\frac{\xi s}{\omega_{n}}+1}
</math>
Se i poli sono complessi coniugati negativi stabili, questi valgono
<math>
p_{1},p_{2} = \xi\omega_{n} \pm j\omega_{n}\sqrt{1 - \xi^{2}}
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==== Parametri caratteristici ====
I simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano:
<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 390, figura 7.15</ref>
* <math>\omega _{n}</math>: ▼
▲<math>\omega _{n}</math>:
pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati
* <math>\xi</math>:▼
▲<math>\xi</math>:
smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi
* <math>\alpha = \xi \omega_{n}</math>:▼
▲<math>\alpha = \xi \omega_{n}</math>:
fattore di smorzamento, parte reale dei poli
* <math>\omega = \omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}</math>:▼
▲<math>\omega = \omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}</math>:
pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli
il tipo dei poli dipende dallo smorzamento <math>\xi</math>
* <math>\xi \
* <math>
* <math>\xi
* <math>0 < \xi < 1</math>: due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
* <math>
▲<math>0 < \xi < 1</math>: due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
▲<math>\xi \ge 1</math>: due poli positivi reali stabili, se <math>\xi = 1</math> coincidenti: sistema sovrasmorzato
Per i sistemi smorzati con smorzamento <math>0 < \xi < \sqrt{2}/2</math> esiste un
il cui valore dipende dallo smorzamento
<math>
M_{r} = \frac{1}{2 \xi \sqrt{1 - \xi^{2}}}
</math>
in corrispondenza della
<math>
\omega_{r} = \omega_{n} \sqrt{1 - 2\xi^{2}}
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Se lo smorzamento è maggiore di <math>0,707</math> allora <math>M_{r} = 1</math> e <math>\omega_{n} = 0</math>
La
di un sistema smorzato del secondo ordine è
<math>
BW = \omega_{n} \
</math>
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==== Risposta al gradino dei sistemi smorzati ====
La risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario
o
può essere usata per valutare le prestazioni di un sistema
* ''Sovraelongazione massima'':▼
<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 394, sezione 7-5-3: Maximum overshoot</ref>
▲Sovraelongazione massima:
Se il sistema è smorzato (<math>0<\xi<1</math>) la risposta al gradino ha un comportamento oscillatorio periodico con massimi e minimi ai tempi <math>t_{i} = \frac{i\pi}{\omega}</math> per <math>i</math> intero, il valore della sovraelongazione dipende solo dallo smorzamento <math>\xi</math> ed è
<math>
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</math>
* ''Tempo di ritardo'':▼
<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time</ref>
▲Tempo di ritardo:
Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta a raggiungere la metà del valore di regime
<math>
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</math>
* ''Tempo di salita'':▼
<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time</ref>
▲Tempo di salita:
Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta ad andare dal 10\% al 90\% del suo valore di regime
<math>
Line 193 ⟶ 179:
</math>
* ''Tempo di assestamento'':▼
<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 398, sezione 7-5-5: Settling time</ref>
▲Tempo di assestamento:
si calcola un valore approssimato del tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 5\% dal valore di regime
<math>
t_{s_{5\%}} = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{3}{\xi \omega_{n}} & \textrm{per
\frac{4.5 \xi}{\omega_{n}} & \textrm{per
\end{array} \right.
</math>
Se si desidera un assestamento al <math>2\%</math> del valore di regime, si considera
<math>
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</math>
==== Relazioni tra i parametri ====
Esistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino
<ref>Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 550, figura 9-7</ref>
* Al crescere di <math>\omega_{n}</math> la distanza dei poli dall'origine aumenta
* Al crescere di <math>\xi</math> diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativa rispetto all'origine ▼
* Al crescere di <math>\omega_{n}</math>
* Al crescere di <math>\xi</math> il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente▼
* La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata <math>\omega_{n}</math> e inversamente proporzionale al tempo di salita <math>t_{r}</math>, ▼
▲Al crescere di <math>\xi</math> diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativa rispetto all'origine
▲Al crescere di <math>\xi</math> il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente
▲La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata <math>\omega_{n}</math> e inversamente proporzionale al tempo di salita <math>t_{r}</math>,
per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente
* Al crescere del picco di risonanza aumenta la sovraelongazione massima▼
▲Al crescere del picco di risonanza aumenta la sovraelongazione massima
=== Riduzione dell'ordine dei sistemi ===
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