Fondamenti di automatica/Metodi di analisi: differenze tra le versioni
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=== Luogo delle radici ===
Il
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 389, capitolo 13: Luogo delle radici</ref>
consiste nel tracciamento delle curve descritte dai poli e dagli zeri di un sistema in retroazione unitaria al variare del guadagno d'anello.
Ci riferiamo ad un sistema <math>G(s)</math> a guadagno unitario retroazionato con un guadagno d'anello <math>k</math>
Si definisce
Permette di trattare unicamente problemi in cui la funzione di trasferimento in anello chiuso è razionale, e quindi priva di ritardi di tempo che si presentano sempre nei sistemi reali.
Il luogo delle radici consente di valutare facilmente la stabilità di un sistema in ciclo chiuso e le strategie di controllo necessarie a stabilizzare un sistema instabile.
I punti <math>\sigma + j\omega</math> del luogo diretto sono tutti e soli i punti che soddisfano le due condizioni sul modulo e sulla fase:
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</math>
ovvero il prodotto dei moduli dei vettori tra il punto e i poli diviso il prodotto dei moduli dei vettori tra il punto e gli zeri è pari al guadagno nel punto
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 392</ref>
<math>
k =
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<math>
\angle G(s) = (2i+1)\pi \
</math>
ovvero la somma delle fasi dei vettori che uniscono il punto con gli zeri meno la somma delle fasi che uniscono il punto con i poli deve essere <math>\pm\pi</math> a meno di <math>2\pi</math>
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 391</ref>
<math>
\tan^{-1}\frac{\omega}{\sigma + z_{1}}
\
</math>
<math>
-\tan^{-1}\frac{\omega}{\sigma + p_{1}}
\
= \pm \pi \
</math>
Quest'ultima relazione è sufficente per caratterizzare il luogo delle radici,
la precedente è invece utile per trovare il guadagno corrispondente ad un punto appartenente al luogo
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==== Proprietà del luogo delle radici diretto ====
Le curve del luogo delle radici diretto hanno le seguenti proprietà:
* Il numero di rami del luogo è pari al grado del sistema▼
* Il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale e rispetto agli assi di simmetria dei poli e degli zeri del luogo▼
* Appartengono al luogo le parti dell'asse reale che hanno un numero
▲Il numero di rami del luogo è pari al grado del sistema
* Gli <math>i = n_{p}-n_{z}</math> angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono multipli dell'angolo giro diviso per l'eccesso poli-zeri▼
▲Il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale e rispetto agli assi di simmetria dei poli e degli zeri del luogo
▲Appartengono al luogo le parti dell'asse reale che hanno un numero \emph{dispari} di poli e zeri a destra
▲al crescere del modulo del guadagno d'anello si segue il luogo dai poli agli zeri, i rami che non terminano in zeri vanno asintoticamente all'infinito
▲Gli <math>i = n_{p}-n_{z}</math> angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono multipli dell'angolo giro diviso per l'eccesso poli-zeri
<math>
\theta_{i} = \frac{(2i-1)\pi}{n_{p} - n_{z}}
</math>
* L'intersezione degli asintoti (
▲L'intersezione degli asintoti (\emph{centroide} <math>\sigma_{c}</math>) è sull'asse reale nel punto uguale alla somma dei poli meno la somma degli zeri diviso per l'eccesso poli-zeri
<math>
\sigma_{c} = \frac{p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n_{p}}
- z_{1} - z_{2} - \cdots - z_{n_{z}} }{n_{p} - n_{z}}
</math>
(dove è possibile considerare solo la parte reale di poli e zeri, in quanto le parti complesse di poli o zeri complessi coniugati si annullano)
* I rami del luogo nei punti di incrocio formano tra loro angoli uguali▼
▲punti di incrocio del luogo sull'asse reale si possono determinare trovando i massimi e i minimi della funzione di trasferimento in anello aperto
▲I rami del luogo nei punti di incrocio formano tra loro angoli uguali
▲l'angolo <math>\theta_{t}</math> tra la tangente del ramo del luogo nei poli e negli zeri con molteplicità unitaria e l'asse reale è
<math>
\theta_{t} = \pi + \mathcal{T}( \theta_{Z1} + \cdots + \theta_{Zn_{z}}
- \theta_{P1} - \cdots - \theta_{Pn_{p}} )
</math>
dove <math>\mathcal{T}=1</math> se il punto è un polo,
oppure <math>\mathcal{T}=-1</math> se il punto è uno zero;
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e <math>\theta_{P(1 \cdots n_{p})}</math> sono gli angoli tra il punto singolare e gli altri poli
(con gli angoli valutati rispetto all'asse reale positivo)
==== Proprietà del luogo delle radici inverso ====
* le parti dell'asse reale che appartengono al luogo hanno alla loro destra un numero \emph{pari} di poli e zeri▼
* gli angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono ruotati in senso orario di <math>\pi/(n_{p}-n_{z})</math> rispetto al luogo diretto, ▼
▲le parti dell'asse reale che appartengono al luogo hanno alla loro destra un numero \emph{pari} di poli e zeri
▲gli angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono ruotati in senso orario di <math>\pi/(n_{p}-n_{z})</math> rispetto al luogo diretto,
in pratica il primo asintoto coincide sempre con l'asse reale positivo
=== Diagrammi di Nyquist ===
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