Fondamenti di automatica/Metodi di analisi: differenze tra le versioni

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m →‎Composizioni e Scomposizioni: ripulito le parti in TeX
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Se si hanno due sistemi in serie,
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 142, sezione 5.4.1: Stabilità dei sistemi in serie}</ref>
in cui uno ha un polo a frequenza pari ad uno zero dell'altro,
il sistema risultante risulta non osservabile o non controllabile,
dipendentemente da come sono definite le variabili di stato
\vedilibro{rif:c}{<ref>Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 503, Effect of pole-zero cancellation in transfer function} </ref>.
Se i sistemi sono in forma di funzione di trasferimento:
* una cancellazione ''zero-polo'' causa una perdita di controllabilità,
\begin{itemize}
* una cancellazione ''polo-zero'' causa una perdita di osservabilità
\item
una cancellazione zero-polo causa una perdita di controllabilità,
\item
una cancellazione polo-zero causa una perdita di osservabilità
\end{itemize}
 
Nel caso di due sistemi in parallelo
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 144, sezione 5.4.2: Stabilità dei sistemi in parallelo}</ref>
espressi come funzioni di trasferimento,
si può avere cancellazione di poli comuni ai due sistemi,
la parte corrispondente a tali poli risulta non controllabile e non osservabile.
 
Se la parte che viene cancellata corrisponde a poli instabili, allora il sistema è instabile.
 
==== Scomposizione canonica ====
Per un sistema in variabili di stato non completamente raggiungibile e osservabile esiste una forma di scomposizione detta \emph{'''decomposizione di Kalman}'''
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 93, sezione 3.5.4: Scomposizione canonica e forma minima}</ref>
che consente di scomporre il sistema in quattro sottosistemi
tali che lo stato interno del sistema è pari all'unione di tutti gli stati interni dei sottosistemi
 
\begin{itemize}
* non controllabile e non osservabile (<math>cnnn</math>)
\item
* non controllabile e noned osservabile (<math>nnno</math>)
* controllabile e non osservabile (<math>cocn</math>)
\item
non* controllabile ede osservabile (<math>noco</math>)
 
\item
controllabile e non osservabile (<math>cn</math>)
\item
controllabile e osservabile (<math>co</math>)
\end{itemize}
si applica una trasformazione <math>T_{K}</math> (che in generale non è unica) al sistema
ottenendo
 
<math>
\left\{
Line 52 ⟶ 45:
\right.
</math>
 
dove il vettore di stato trasformato <math>x_{K}(t)</math>
(tale che <math>x(t) = x_{K}(t)T_{K}</math>)
è scomposto in quattro parti
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 94</ref>
\vedilibro{rif:b}{94}
<math>
x_{K}^{T} = \big[ x_{cn} , x_{co} , x_{nn} , x_{no} \big]
Line 79 ⟶ 73:
0 \\
\end{array} \right]
\\
C_{K} = CT_{K} = [ 0 , C_{co} , 0 , C_{no} ]
</math>
 
<math>
C_{K} = CT_{K} = [ 0 , C_{co} , 0 , C_{no} ]
</math>
 
Un sistema raggiungibile ed osservabile si dice essere \emph{in forma minima}
in quanto non è possibile usare un numero di variabili di stato minore del suo ordine per descrivere la relazione ta ingresso e uscita che esso stabilisce
 
Un sistema in forma minima lineare tempoinvariante è stabile esternamente se e solo se è asintoticamente stabile
 
Un sistema raggiungibile ed osservabile si dice essere \emph{'''in forma minima}'''
in quanto non è possibile usare un numero di variabili di stato minore del suo ordine per descrivere la relazione ta ingresso e uscita che esso stabilisce.
 
Un sistema in forma minima lineare tempoinvariante è stabile esternamente se e solo se è asintoticamente stabile.
 
=== Criterio di Routh ===