Fondamenti di automatica/Sistemi lineari tempoinvarianti: differenze tra le versioni

=== Risposta in frequenza ===

Se si restringe la funzione di trasferimento di un sistema sui valori di <math>s</math> immaginari puri positivi, si ottiene

 

Essa è definita per tutti i valori della pulsazione <math>\omega</math> positivi che non siano poli immaginari puri di <math>G(s)</math>

</math>

 

il modulo della risposta in frequenza rappresenta la variazione del modulo dell'uscita in funzione della pulsazione dell'ingresso;

la fase della risposta in frequenza rappresenta la variazione della fase dell'uscita in funzione della pulsazione dell'ingresso

 

si può rappresentare in varie forme corrispondenti a quelle della funzione di trasferimento, le più comuni sono:

<math>

G(j\omega) = \rho \frac{z_{1} z_{2} \cdots z_{n_{z}}}

(j\omega+p_{1})(j\omega+p_{2}) \cdots (j\omega+p_{n_{p}})}

</math>

<math>

G(j\omega) = \rho \frac{(j\omega\tau_{1}+1)(j\omega\tau_{2}+1) \cdots

(j\omega)^{g}(j\omega T_{1}+1)(j\omega T_{2}+1) \cdots (j\omega T_{n_{p}-g}+1)}

</math>

|G(j\omega)| =

\frac{\rho}{\omega^{g}}

{(T_{1}^{2}\omega^{2}+1)(T_{2}^{2}\omega^{2}+1) \cdots

(T_{n_{p}-g}^{2}\omega^{2}+1)} }

\angle G(j\omega) =

- \frac{\pi}{2} g

\tan^{-1}\omega\tau_{1} + \cdots + \tan^{-1}\omega\tau_{n_{z}}

- \tan^{-1}\omega T_{1} - \cdots - \tan^{-1}\omega T_{n_{p}-g}

 

se si vuole valutare la risposta in frequenza per pulsazioni lontane dai poli e dagli zeri,

 

==== La trasformata di Fourier ====

è definita come la trasformata di laplace per funzioni reali <math>f(t)</math> ma prendendo come base le funzioni sinusoidali

<math>

F(j\omega) = \int _{-\infty} ^{+\infty} f(t) e ^{-j\omega t} dt

</math>

<math>

f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega

</math>

 

=== Passaggio tra le varie rappresentazioni ===