Differenze tra le versioni di "Fondamenti di automatica/Sistemi lineari tempoinvarianti"

m
→‎Risposta in frequenza: ripulito parti in TeX
m (→‎Risposta impulsiva: ripulito parti in TeX)
m (→‎Risposta in frequenza: ripulito parti in TeX)
=== Risposta in frequenza ===
Se si restringe la funzione di trasferimento di un sistema sui valori di <math>s</math> immaginari puri positivi, si ottiene
la \emph{'''risposta in frequenza del sistema}''' <math> G(j\omega) </math>
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 154, capitolo 6: Risposta in frequenza</ref>
\vedilibro{rif:b}{154, capitolo 6: Risposta in frequenza}
che rappresenta l'uscita del sistema quando ha in ingresso una sinusoide.
 
Essa è definita per tutti i valori della pulsazione <math>\omega</math> positivi che non siano poli immaginari puri di <math>G(s)</math>
</math>
 
La risposta in frequenza è una funzione a immagine complessa <math>\Im \rightarrow \Compmathbb{C}</math>;
il modulo della risposta in frequenza rappresenta la variazione del modulo dell'uscita in funzione della pulsazione dell'ingresso;
la fase della risposta in frequenza rappresenta la variazione della fase dell'uscita in funzione della pulsazione dell'ingresso
 
si può rappresentare in varie forme corrispondenti a quelle della funzione di trasferimento, le più comuni sono:
 
\begin{itemize}
\emph{* '''Risposta in frequenza in forma poli-zeri}'''
\item[-]
\emph{Risposta in frequenza in forma poli-zeri}
<math>
G(j\omega) = \rho \frac{z_{1} z_{2} \cdots z_{n_{z}}}
(j\omega+p_{1})(j\omega+p_{2}) \cdots (j\omega+p_{n_{p}})}
</math>
\emph{* '''Risposta in frequenza in forma di Bode}'''
\item[-]
 
\emph{Risposta in frequenza in forma di Bode}
<math>
G(j\omega) = \rho \frac{(j\omega\tau_{1}+1)(j\omega\tau_{2}+1) \cdots
(j\omega)^{g}(j\omega T_{1}+1)(j\omega T_{2}+1) \cdots (j\omega T_{n_{p}-g}+1)}
</math>
 
\item[-]
\emph{* '''Risposta in frequenza in modulo e fase} '''
 
\begin{eqnarray}
<math>
|G(j\omega)| =
\frac{\rho}{\omega^{g}}
{(T_{1}^{2}\omega^{2}+1)(T_{2}^{2}\omega^{2}+1) \cdots
(T_{n_{p}-g}^{2}\omega^{2}+1)} }
</math>
\nonumber\\
 
<math>
\angle G(j\omega) =
- \frac{\pi}{2} g
\phantom{2}quad + \phantom{2}quad
\tan^{-1}\omega\tau_{1} + \cdots + \tan^{-1}\omega\tau_{n_{z}}
\phantom{2}quad + \phantom{2}quad \nonumber\\
- \tan^{-1}\omega T_{1} - \cdots - \tan^{-1}\omega T_{n_{p}-g}
</math>
\end{eqnarray}
\end{itemize}
 
se si vuole valutare la risposta in frequenza per pulsazioni lontane dai poli e dagli zeri,
 
==== La trasformata di Fourier ====
La \emph{'''trasformata di Fourier}''' <math>\FourierTrasfmathcal{F}\left\{f(t)\right\}</math>
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 617, appendice B.5: Trasformata di Fourier}</ref>
è definita come la trasformata di laplace per funzioni reali <math>f(t)</math> ma prendendo come base le funzioni sinusoidali
 
<math>
F(j\omega) = \int _{-\infty} ^{+\infty} f(t) e ^{-j\omega t} dt
</math>
 
l'operazione inversa <math>\invFourierTrasfmathcal{F}^{-1} \left\{ F(j \omega) \right\} </math> è
<math>
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega
</math>
 
 
=== Passaggio tra le varie rappresentazioni ===
50

contributi