Differenze tra le versioni di "Fondamenti di automatica/Sistemi lineari tempoinvarianti"

m
→‎Funzione di trasferimento: ripulito parti in TeX
m (→‎Variabili di stato: corretto parti in TeX)
m (→‎Funzione di trasferimento: ripulito parti in TeX)
 
=== Funzione di trasferimento ===
La \emph{'''funzione di trasferimento ingresso-uscita}''' <math> G(s) </math> di un sistema lineare SISO
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag.99, capitolo 4: Funzione di trasferimento</ref>
\vedilibro{rif:k}{78, sezione 3-2: Impulse response and transfer function of linear systems}
\vedilibro{rif:b}{99, capitolo 4: Funzione di trasferimento}
è definita come la funzione tale che
 
<math>
Y(s) = G(s) U(s)
</math>
dove <math> U(s) </math> e <math> Y(s) </math> rappresentano la trasformata di Laplace dell'ingresso <math> u(t) </math> e dell'uscita <math> y(t) </math>;
è in generale esprimibile da un rapporto di polinomi in <math> s </math>, ma sono possibili varie forme
\vedilibro{rif:b}{<ref> Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 106, sezione 4.3: Rappresentazioni e parametri della funzione di trasferimento}</ref>
 
\emph{* '''Funzione di trasferimento in forma polinomiale}'''
 
\begin{itemize}
\item[-]
\emph{Funzione di trasferimento in forma polinomiale}
<math>
G(s) = \frac{b_{n_{z}}s^{n_{z}}+b_{n_{z}-1}s^{n_{z}-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0}}{
s^{n_{p}} + a_{n_{p}-1}s^{n_{p}-1} + \cdots + a_{1}s + a_{0}}
</math>
 
\item[-]
\emph{* '''Funzione di trasferimento in forma poli-zeri}'''
 
<math>
G(s) = \rho \frac{z_{1} z_{2} \cdots z_{n_{z}}}{p_{1} p_{2} \cdots p_{n_{p}}}
(s+p_{1})(s+p_{2}) \cdots (s+p_{n_{p}})}
</math>
 
\item[-]
\emph{* '''Funzione di trasferimento in forma di Bode}'''
 
<math>
G(s) = \rho \frac{(\tau_{1}s + 1)(\tau_{2}s + 1) \cdots (\tau_{n_{z}}s + 1)}{
s^{g} (T_{1}s + 1)(T_{2}s + 1) \cdots (T_{n_{p}-g}s + 1)}
</math>
\end{itemize}
 
I simboli utilizzati rappresentano:
 
\begin{itemize}
* <math>z_ p_{1}, z_p_{2}, \ldots, z_p_{n_{zp}} </math> sono glidetti \emph{zeri}'''poli''' della funzione di trasferimento;
\item
* <math>p_ z_{1}, p_z_{2}, \ldots, p_z_{n_{pz}} </math> sono detti \emph{poli} della funzione digli trasferimento'''zeri''';
* <math> n_{p} </math> è il numero dei poli e <math> n_{z} </math> il numero degli zeri;
\item
* <math> T </math> e <math> \tau </math> sono gli inversi dei poli e degli zeri non nulli (detti anche \emph{'''costanti di tempo}''') <math> T_{i} = 1/p_{i} </math> e <math> \tau_{i} = 1/z_{i} </math>;
<math>z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n_{z}}</math> sono gli \emph{zeri};
* <math> g </math> è il \emph{'''grado del sistema}''', il numero di poli nulli;
\item
* <math> \rho </math> rappresenta qui il \emph{'''guadagno generalizzato} '''
<math>n_{p}</math> è il numero dei poli e <math>n_{z}</math> il numero degli zeri
<ref> Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 70, sezione 3.2.5: Equilibrio</ref>
\item
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 106, sezione 4.3.1: Guadagno</ref>
<math>T</math> e <math>\tau</math> sono gli inversi dei poli e degli zeri non nulli (detti anche \emph{costanti di tempo}) <math>T_{i} = 1/p_{i}</math> e <math>\tau_{i} = 1/z_{i}</math>
\item
<math>g</math> è il \emph{grado del sistema}, il numero di poli nulli
\item
<math>\rho</math> rappresenta qui il \emph{guadagno generalizzato}
\vedilibro{rif:b}{70, sezione 3.2.5: Equilibrio}
\vedilibro{rif:b}{106, sezione 4.3.1: Guadagno}
del sistema,
ovvero il guadagno per frequenze minori delle frequenze dei poli e degli zeri del sistema
(se nel sistema non si considerano i poli a frequenza nulla).
\end{itemize}
 
iI poli sono gli opposti delle del polinomio caratteristico ed influenzano la stabilità del sistema,
poli negativi conducono a radici positive.
 
Il denominatore della funzione di trasferimento
<math> s^{n_{p}} + a_{n_{p}-1}s^{n_{p}-1} + \cdots + a_{1}s + a_{0} </math> rappresenta il polinomio caratteristico del sistema;.
 
Gli zeri di un sistema rappresentano gli ingressi <math> e^{z_{1 \cdots n_{z}}t} </math> per cui il sistema ha uscita nulla,
questa è detta '''proprietà bloccante degli zeri''' <ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 155, sezione 6.2.2: Proprietà bloccante degli zeri</ref>
questa è detta \emph{proprietà bloccante degli zeri}
\vedilibro{rif:b}{155, sezione 6.2.2: Proprietà bloccante degli zeri}
 
Poiché i coefficenti <math> a_{n_{p}} \cdots a_{0} </math> e <math> b_{n_{z}} \cdots b_{0} </math> sono reali,
i poli e gli zeri di un sistema
(che sono considerati talvolta le radici dei polinomi a numeratore e a denominatore della funzione di trasferimento, talvolta i loro opposti)
sono reali oppure complessi coniugati.
 
Un sistema è detto \emph{'''a sfasamento minimo}'''
\vedilibro{rif:k}{568}
se non ha poli o zeri negativi (instabili) o immaginari puri (eccetto siano nulli);
in questo caso la variazione di fase totale tra la pulsazione nulla e infinita è <math> (n_{p} - n_{z})\pi/2 </math>,
il valore della funzione di trasferimento non è mai zero o infinito per pulsazioni limitate non nulle .
 
La funzione di trasferimento è invariante rispetto a trasformazioni lineari
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 102, sezione 4.2.3: Invarianza della funzione di trasferimento}</ref>
e dipende dalla sola parte raggiungibile ed osservabile del sistema
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 102, sezione 4.2.4: Cancellazioni e stabilità}</ref>
 
==== La trasformata di Laplace ====
È definita per funzioni reali <math> f(t) </math> la \emph{'''trasformata di laplace}Laplace'''
\vedilibro{rif:b}{<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 598, appendice B.3: Trasformata di Laplace}</ref>
 
\vedilibro{rif:k}{28, sezione 2-4: Laplace Transform}
<math>
\LaplaceTrasf{\cdot}
\mathcal{L}\left\{\cdot\right\}
come funzione della variabile complessa <math>s = \sigma + j \omega</math> secondo la formula
</math>
come funzione della variabile complessa <math> s = \sigma + j \omega </math> secondo la formula
 
<math>
F(s) = \int _{0^{-}} ^{+\infty} f(t) e ^{-st} dt
</math>
 
<math> f(t) </math> deve essere definita almeno per <math> t \geq 0 </math>
 
ilIl minimo valore di <math> s </math>, indicato con <math> \sigma_{0} </math> per cui la trasformata esiste è dettadetto ascissa di convergenza.
 
L'operazione trasforma una funzione in un altro spazio
le cui basi sono le funzioni <math> e^{st} </math> ovvero
\vedilibro{rif:r}{Richiami di geometria: Vettori - Spazi vettoriali}
<math> e^{\sigma + j \omega} = e^{\sigma} (\cos{j \omega} + j \sin{\omega} ) </math>
le cui basi sono le funzioni <math>e^{st}</math> ovvero
 
<math>e^{\sigma + j \omega} = e^{\sigma} (\cos{j \omega} + j \sin{\omega} )</math>
\vedilibro{rif:r}{Richiami di numeri complessi}
; sono quindi trasformabili tutte le funzioni che possono essere espresse come somma di funzioni sinusoidali esponenzialmente smorzate, che includono le funzioni esponenziali semplici, lineari e sinusoidali
 
L'operazione inversa
<math> \mathcal{L}^{-1}\left\{\cdot\right\} </math> è
\invLaplaceTrasf{\cdot} è
<math>
f(t) = \frac{1}{2 \pi j}
F(s) e ^{st} ds
</math>
dove <math> \sigma_{1} </math> è un qualsiasi valore maggiore di <math> \sigma_{0} </math>
 
 
\subsubsection{=====Teorema del valore finale}=====
Se <math> f(t) </math> ha trasformata <math> F(s) </math> razionale (o anche solo se esiste il limite a primo membro) con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore e poli negativi o nulli, allora
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag.603 </ref>
\vedilibro{rif:b}{603}
<math>
\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} sF(s)
 
===== Teorema del valore iniziale =====
Se <math> f(t) </math> ha trasformata <math> F(s) </math> razionale (o anche solo se <math> f(0^{+}) </math> esiste) con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore, allora
<ref>Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 603</ref>
\vedilibro{rif:b}{603}
<math>
f(0^{+}) = \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)
</math>
<math>\sigma_{0}</math> deve essere minore di 0 altrimenti <math>F(s)</math> non è definita in 0 e il teorema non è applicabile
 
 
=== Risposta impulsiva ===
50

contributi