Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Derivate"

Finitio il paragrafo sui punti stazionari e non derivabili
(Corretto una mia precedente imprecisione formale; Iniziato a scrivere il paragrafo "punti stazionari e non derivabili")
(Finitio il paragrafo sui punti stazionari e non derivabili)
==Significato==
Come si evince dalla definizione data nei due problemi storici, la derivata rappresenta il limite del rapporto incrementale <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>. Infatti, <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> rappresenta il tasso di variazione medio della funzione nell' intervallo <math>\Delta x</math>, mentre <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math> rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione nel punto, cioè la sua tendenza in quel punto.
 
Per quanto riguarda lo studio di funzioni, la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta la sua monotonia in quel punto, cioè la sua crescenza o decrescenza. In particolare, negli intervalli in cui la derivata prima è positiva, la funzione è crescente; nei punti in cui <math>f'(x)<0</math> la funzione è decrescente.
 
==Punti stazionari e non derivabili==
Si dicono punti stazionari di una funzione tutti e soli i punti in cui la derivata prima è 0.
 
Si dicono punti (o intervalli) non derivabili tutti e soli i punti della funzione in cui: la derivata assume valore infinito, non esiste il limite del rapporto incrementale per <math>\Delta x \rightarrow 0</math> oppure il limite da destra (per eccesso) è diverso dal limite da sinistra(per difetto). In questi punti la funzione ha un comportamento particolare.
 
Nei punti stazionari, la funzione può avere un punto di massimo (relatico o assoluto), un punto di minimo (relativo o assoluto) o un punto di flesso a tangente orizzontale.
 
I punti di massimo relativo sono punti in cui:
:<math>\exists I_C: \forall x \in I_C \Rightarrow f(x) \le f(x)</math> (punti di massimo debole) oppure
:<math>\exists I_C: \forall x \in I_C \Rightarrow f(x) < f(x)</math> (punti di massimo forte)
 
con <math>I_C</math>: intorno del punto x = c
 
Se <math>I_C \equiv D</math> (con D = dominio di <math>f(x)</math>), allora si parla di punti di massimo assoluti.
 
Analogamente, si dicono punti diminimo i punti in cui:
:<math>\exists I_C: \forall x \in I_C \Rightarrow f(x) \ge f(x)</math> (punti di minimo debole) oppure
:<math>\exists I_C: \forall x \in I_C \Rightarrow f(x) > f(x)</math> (punti di minimo forte)
 
Se <math>I_C \equiv D</math> (con D = dominio di <math>f(x)</math>), allora si parla di punti di minimo assoluti.
 
I punti di flesso a tangente orizzontale sono punti in cui la derivata prima si annulla, ma 'prima' e 'dopo' di essi la derivata prima ha uguale segno (cioè la funzione ha uguale andamento). Quindi sono punti di flesso i punti in cui:
:<math>\exists I_C: \forall (x_1<c)</math> e <math> \forall (x_2>c) \in I_C \Rightarrow f'(x_1)\cdot f'(x_2)>0 \land f'(c) = 0</math>
 
Se in un punto non derivabile il limite della derivata (il limite perchè in quel punto la derivata non esiste) da destra è diverso da quello da sinistra ma sono entrambi finiti e diversi da 0, cioè:
:<math>\lim_{x \rightarrow c^{-}} f'(x) \ne \lim_{x \rightarrow c^{+}} f'(x)</math>
 
allora nel punto x = c si ha un punto angoloso, cioè un punto nel quale sono presenti due diverse tangenti.
 
Se, invece, nel punto i limiti della derivata da destra e da sinistra sono entrambi infiniti positivamente o negativamente (purchè aventi entrambi lo stesso 'segno'), allora in quel punto è presente un punto di flesso a tangente verticale. Scritto in simboli:
In questi punti la funzione ha comportamenti particolari. In questa sede essi verranno solo descritti, in quanto una loro trattazione più completa ha sede nel paragrafo dedicato allo studio di funzioni.
:<math>\lim_{x \rightarrow c^{-}} f'(x) \cdot \lim_{x \rightarrow c^{+}} f'(x) = +\infty</math>
 
Nel caso in cui invece i due limiti siano entrambi infiniti ma di diverso 'segno', allora nel punto si ha una cuspide:
Nei punti stazionari, la funzione può avere un punto di massimo, un punto di minimo o un punto di flesso a tangente orizzontale.
:<math>\lim_{x \rightarrow c^{-}} f'(x) \cdot \lim_{x \rightarrow c^{+}} f'(x) = -\infty</math>
 
==Teoremi sulle derivate==
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