Matematica per le superiori/Derivate: differenze tra le versioni
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Quindi, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico di <math>y = f(x)</math> in un punto. Si dimostra che la derivata rappresenta la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente nel punto con il semiasse positivo delle x.
==Interpretazione cinematica==
Il secondo problema legato allo sviluppo del concetto di derivata riguarda la determinazione della velocità di un corpo in moto: considerato l' equazione del moto di un corpo, cioè S(t) essa può essere rappresentata su un grafico cartesiano, nelle cui ascisse è rappresentato il tempo e nelle cui ordinate è rappresentato lo spostamento. Perciò S(x) è una qualsiasi funzione del tipo f(x).
Il problema risiede nel determinare la velocità del corpo dopo un dato tempo, cioè in un certo punto
:<math>P (x_P; f(x_P)) \,</math>
Per fare ciò, si può considerare un punto Q di ascissa <math>x_P + \Delta x</math> e, quindi, di ordinata <math>f(x + \Delta x)</math> e poi calcolare la velocità con la formula
:<math>v_M = \frac{S_Q - S_P}{t_Q - t_P}</math>
dove S e t indicano lo spostamento nel punto indicato a pedice. Questa, però è la velocità media sostenuta nel percorso fra P e Q. Il problema era calcolare la velosità istantanea, cioè nel solo punto P. Questo valore può essere approssimato in modo sempre migliore diminuendo la distanza <math>\Delta x</math> fra le ascisse di P e Q. Perciò:
:<math>\lim_{Q \rightarrow P} v_M = v_i \Rightarrow
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\frac{S_Q - S_P}{x_{Q} - x_{P}}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{(x + \Delta x) - x}} = </math>
:<math> = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = f'(x)</math>
==Definizione==
Per come è stata definita, la derivata rappresenta il limite del rapporto incrementale <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>. Infatti, <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> rappresenta il tasso di variazione medio della funzione nell' intervallo <math>\Delta x</math>, mentre <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math> rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione nel punto, cioè la sua tendenza in quel punto.
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