Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Derivate"

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La derivata prima (si parlerà successivamente di derivate seconde, terze,...) della funzione y = <math>f(x)</math> nel punto (c, <math>f(c)</math>) si indica con <math>f'(c)</math>.
 
Se una funzione viene derivata, cioè se ne calcola la derivata, in tutti i punti di un intervallo o del suo dominio, la derivata è ancora una funzione, del tipo <math> y = f'(x)</math>. Questa funzione può essere a sua volta deivataderivata, ottenendo quella che è detta derivata seconda ed è indicata con <math>f''(x)</math>. Se questa viene di nuovo derivata, si ottiene la derivata terza (<math> y = f'''(x)</math>), la derivata quarta (<math> f^{ (IV)}(x) \,</math>) e così via.
 
La derivata rappresenta la tendenza della funzione (in un punto o in un intervallo), cioè la sua tendenza ad aumentare o diminuire. Maggiore è la derivata, più il valore di f(x) tende ad aumentare. Se la derivata è negativa, f(x) tende a calare. Storicamente, il concetto di derivata di una funzione è nato dalla ricerca di una soluzione a due diversi problemi, conosciuti oggi come interpretazioni del concetto di derivata.
 
==Interpretazione geometrica==
Il problema di carattere geometrico riguarda le ricerca dell' equazione della tangente al grafico della curva <math> y = f(x)</math> in un punto. Questo problema si riduce alla sola determinazione del coefficiente angolare della tangente cercata.
 
Questo problema si riduce alla sola determinazione del coefficiente angolare della tangente cercata.
Per fare ciò, si considera un punto
Per fare ciò, si considera un punto P di coordinate <math>(x_0; f(x_0))</math> ed il punto Q determinato fornendo un incremento \Delta x, per cui il punto Q ha coordinate <math>(x_0 + \Delta x ; f(x_0 + \Delta x))</math>.
:<math>P (x_P; f(x_P)) \,</math>
Poichè il coefficiente angolare (m) di una retta passante per due punti è: <math>m_{SECANTE} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \Rightarrow \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}</math>.
ed il punto Q determinato fornendo un incremento <math>\Delta x</math>, per cui il punto Q ha coordinate
:<math>(x_P + \Delta x ; f(x_P + \Delta x)) \,</math>
 
Poiché il coefficiente angolare (''m'') di una retta passante per due punti è:
Poichè il coefficiente angolare (m) di una retta passante per due punti è: <math>m_{SECANTESEC} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \Rightarrow \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}</math>.
 
Si nota facilmente che più i due punti "si avvicinano", più la secante passante per P e Q "si avvicina" alla tangente. Quindi:
 
:<math>\lim_{Q \rightarrow P} m_{SECANTESEC} = m_{TANGENTETAN} \Rightarrow
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{(x + \Delta x) - x}} = </math>
:<math> = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = f'(x)</math>
 
Quindi, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico di <math>y = f(x)</math> in un punto. Si dimostra che la derivata rappresenta la tangente trigonometrica dell' angolo formato dalla tangente nel punto con il semiasse positivo delle x.
 
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Quindi, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico di <math>y = f(x)</math> in un punto. Si dimostra che la derivata rappresenta la tangente trigonometrica dell' angolo formato dalla tangente nel punto con il semiasse positivo delle x.
{{Avanzamento|50%|8 marzo 2009}}
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