Matematica per le superiori/Derivate

La derivata è sempre relativa ad una funzione e, per come è definita, ad un suo punto specifico (c, $f(c)$). La derivata prima (si parlerà successivamente di derivate seconde, terze,...) della funzione y = $f(x)$ nel punto (c, $f(c)$) si indica con $f'(c)$.

Se una funzione viene derivata, cioè se ne calcola la derivata, in tutti i punti di un intervallo o del suo dominio, la derivata è ancora una funzione, del tipo $y=f'(x)$. Questa funzione può essere a sua volta deivata, ottenendo quella che è detta derivata seconda ed è indicata con $f''(x)$. Se questa viene di nuovo derivata, si ottiene la derivata terza ($y=f'''(x)$), la derivata quarta (Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle f^{ (IV)}(x)} ) e così via.

La derivata rappresenta la tendenza della funzione (in un punto o in un intervallo), cioè la sua tendenza ad aumentare o diminuire. Maggiore è la derivata, più il valore di f(x) tende ad aumentare. Se la derivata è negativa, f(x) tende a calare. Storicamente, il concetto di derivata di una funzione è nato dalla ricerca di una soluzione a due diversi problemi, conosciuti oggi come interpretazioni del concetto di derivata.

Interpretazione geometrica

Il problema di carattere geometrico riguarda le ricerca dell' equazione della tangente al grafico della curva $y=f(x)$ in un punto. Questo problema si riduce alla sola determinazione del coefficiente angolare della tangente cercata. Per fare ciò, si considera un punto P di coordinate $(x_{0};f(x_{0}))$ ed il punto Q determinato fornendo un incremento \Delta x, per cui il punto Q ha coordinate $(x_{0}+\Delta x;f(x_{0}+\Delta x))$. Poichè il coefficiente angolare (m) di una retta passante per due punti è: $m_{SECANTE}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\Rightarrow {\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}$.

Si nota facilmente che più i due punti "si avvicinano", più la secante passante per P e Q "si avvicina" alla tangente. Quindi:

$\lim _{Q\rightarrow P}m_{SECANTE}=m_{TANGENTE}\Rightarrow \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}=$ $=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=f'(x)$

Quindi, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico di $y=f(x)$ in un punto. Si dimostra che la derivata rappresenta la tangente trigonometrica dell' angolo formato dalla tangente nel punto con il semiasse positivo delle x.