Analisi matematica/Integrazioni di funzioni goniometriche: differenze tra le versioni
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'''Integrare una
detta '''equazione d'onda''', dove ''A'', ''ω'' e ''φ'' sono costanti. Verranno distinti vari casi, poiché negli integrali non si procede mai per regola generale, ma per deduzione, analizzando il tipo di funzione integranda e applicando le regole note di integrazione immediata nonché le formule di risoluzione degli integrali. ▼
▲Integrare una [[w:funzione goniometrica|funzione goniometrica]] significa svolgere un integrale di un gruppo di funzioni irrazionali dette periodiche o circolari. Le combinazioni di funzioni goniometriche sono utilizzate in applicazioni fisiche, come il moto armonico, descritto dalla legge
▲*<math>f(t) = A\cos(\omega t+\phi)\!</math>,
▲detta '''equazione d'onda''', dove A,ω e φ sono costanti. Verranno distinti vari casi, poiché negli integrali non si procede mai per regola generale, ma per deduzione, analizzando il tipo di funzione integranda e applicando le regole note di integrazione immediata nonché le formule di risoluzione degli integrali.
Ricordando allora le regole di integrazione notevoli visualizzate qui [[w:Tavola degli integrali più comuni|tavola degli integrali più comuni]].
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:<math>f(x):=\sin^{\alpha}{(x)}\qquad g(x):=\cos^{\alpha}{(x)}</math>
con ''α'' intero e positivo.
▲E' evidente che non è immediato, non è possibile applicare nessuna formula diretta.
'''Attenzione''': se però, come accade più spesso, l'esponente che compare è elevato, la procedura di integrazione per parti risulta lunga e macchinosa e può indurre facilmente ad errori di calcolo. ▼
C’è però un metodo alternativo e molto più efficace: l’applicazione congiunta delle [[w:formule di bisezione|formule di bisezione]] e di [[w:Formule di Werner|formule di Werner]], che verrà illustrato nell’esempio seguente.▼
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▲:C’è però un metodo alternativo e molto più efficace: l’applicazione congiunta delle [[w:formule di bisezione|formule di bisezione]] e di [[w:Formule di Werner|formule di Werner]], che verrà illustrato nell’esempio seguente.
Calcolare l’integrale di sin ^5
'''Regola pratica generale''': Per risolvere gli integrali di questo tipo occorre scindere la funzione circolare isolando sempre il termine ci secondo grado, elevandolo all’opportuna potenza e occasionalmente moltiplicarlo per un altro termine di primo grado, se l’esponente della funzione integranda è dispari. ▼
▲Per risolvere gli integrali di questo tipo occorre scindere la funzione circolare isolando sempre il termine ci secondo grado, elevandolo all’opportuna potenza e occasionalmente moltiplicarlo per un altro termine di primo grado, se l’esponente della funzione integranda è dispari.
Per poter integrare è necessario sviluppare la potenza ed applicare con iterazione le formule di bisezione, per abbassare* i termini di secondo grado. Una volta ridotti tutti i termini del prodotto a primo grado, è possibile ricorrere alle formule di Werner più volte per spezzare tutti i prodotti di funzioni goniometriche in somme. Dopodiché , rimanendo un unico integrale di una somma di funzioni goniometriche singole di primo grado, risulta facile (per la proprietà di linearità) integrare le somme trovate applicando la 3 o la 4.
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Se alfa non dovesse essere intero, non c’è garanzia di poter calcolare un integrale seguendo le procedure elementari. Però esistono modi per la risoluzione di
Quindi condizione sufficiente per risolvere un integrale elementarmente è che la radice dell’integranda sia quadrata e che il
Calcolare l’integrale di int(sqrt(cos(x)^3), x)
Osservando però la figura I, la funzione integranda è [[discontinua]] in un numero infinito di punti e presenta un numero infinito di [[soluzioni]], che sono classificate come punti di discontinuità. Il suo [[dominio]] infatti è a [[intervalli]] alternati di ampiezza pi e….
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Calcolare int 1/cosx
[[Categoria:analisi matematica|Integrazioni di funzioni goniometriche]]
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