Analisi matematica/Integrazioni di funzioni goniometriche: differenze tra le versioni

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== Prefazione ==
 
Integrare una [[funzione goniometrica]] significa svolgere un qualsiasi integrale di funzioneun razionale,gruppo di ma[[funzioni puòirrazionali]]dette nonperiodiche risultareo immediatocircolari. Le combinazioni di funzioni goniometriche sono utilizzate in applicazioni fisiche, come il moto armonico, descritto dalla legge f(t) = A*cos(ωt+φ), detta equazione d'onda, dove A,ω e φ sono costanti. Verranno distinti vari casi, poiché negli integrali non si procede mai per regola generale, ma per deduzione, analizzando il tipo di funzione integranda e applicando le regole note di integrazione immediata nonché le formule di risoluzione degli integrali.
 
Ricordando allora le regole di integrazione notevoli:
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Risulta più complicato calcolare un integrale in cui la funzione goniometrica presenta un esponente maggiore di 1. Integrazione di funzioni del tipo ....... con α intero e positivo.
Esempio. Calcolare l'integrale di cos^3 (x). E' evidente che non è immediato, non è possibile applicare nessuna formula diretta. Procediamo allora per parti .
 
Esempio.
Calcolare l'integrale di cos^3 (x).
Esempio. Calcolare l'integrale di cos^3 (x). E' evidente che non è immediato, non è possibile applicare nessuna formula diretta. Procediamo allora per parti .
Procediamo allora per parti .
 
 
 
 
'''Attenzione''': se però, come accade più spesso, l'esponente che compare è elevato, la procedura di integrazione per parti risulta lunga e macchinosa e può indurre facilmente ad errori di calcolo.
C’è però un metodo alternativo e molto più efficace: l’applicazione congiunta delle [[formule di bisezione]] e di [[Werner]], che verrà illustrato nell’esempio seguente.
 
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Se alfa non dovesse essere intero, non c’è garanzia di poter calcolare un integrale seguendo le procedure elementari. Però esistono modi per la risoluzioni di [[integrali particolari di funzioni irrazionali]] come sqrt ( 1 – x^2 ) 1/ sqrt(1 – x^2) sqrt ( 1 + x^2) , che portano a funzioni inverse delle circolari e l’ultima dà una funzione inversa delle iperboliche. Più in generale gli integrali in questione sono del tipo sqrt ( ax^2 + bx + c), risolubili per qualunque valore reale di a, b, c, i quali, a seconda del [[discriminante]] del polinomio di secondo grado, condurranno con veloci operazioni aritmetiche, agli [[integrali immediati]] 5 , 6 , 7
 
 
Quindi condizione sufficiente per risolvere un integrale elementarmente è che la radice dell’integranda sia quadrata e che il [[radicando]] sia un [[polinomio]] di secondo grado. Negli altri casi non è garantito un risultato secondo le tecniche elementari. Non è escluso, ma la probabilità è bassa di poter risolvere un integrale che non rientri in questa categoria senza ricorrere a [[metodi numerici]].
Dato che il radicando non è un polinomio, si può sviluppare in serie di Taylor al secondo ordine e ottenere un valore che si discosta da quello esatto di un [[infinitesimo]] di ordine 2, applicando la [[formula di Taylor con il resto di Lagrange]].
 
 
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Osservando però la figura I, la funzione integranda è [[discontinua]] in un numero infinito di punti e presenta un numero infinito di [[soluzioni]], che sono classificate come punti di discontinuità. Il suo [[dominio]] infatti è a [[intervalli]] alternati di ampiezza pi e….
Essendo discontinua in un numero non quantificabile di punti, non è possibile applicare le regole di integrazione immediate viste precedentemente, quindi non sarà possibile neanche ottenere un valore approssimato dell’integrale. Anche la procedura di [[Taylor]] è risultata inadeguata, può funzionare solo se si vuole calcolare approssimativamente il valore dell’integrale in un solo intervallo, preferibilmente su , dove f è continua.
 
Vedere [[proprietà degli integrali]]
Vedere Teoremi di integrazioni di funzioni continue