Analisi matematica/Integrazioni di funzioni goniometriche: differenze tra le versioni

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Attenzione: se però, come accade più spesso, l'esponente che compare è elevato, la procedura di integrazione per parti risulta lunga e macchinosa e può indurre facilmente ad errori di calcolo.
C’è però un metodo alternativo e molto più efficace: l’applicazione congiunta delle formule di bisezione e di Werner, che verrà illustrato nell’esempio seguente.
 
Link. Vedere metodo di bis e di werner
 
Metodo Bisezione-Werner
Calcolare l’integrale di sin ^5
 
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Per risolvere gli integrali di questo tipo occorre scindere la funzione circolare isolando sempre il termine ci secondo grado, elevandolo all’opportuna potenza e occasionalmente moltiplicarlo per un altro termine di primo grado, se l’esponente della funzione integranda è dispari.
Per poter integrare è necessario sviluppare la potenza ed applicare con iterazione le formule di bisezione, per abbassare* i termini di secondo grado. Una volta ridotti tutti i termini del prodotto a primo grado, è possibile ricorrere alle formule di Werner più volte per spezzare tutti i prodotti di funzioni goniometriche in somme. Dopodiché , rimanendo un unico integrale di una somma di funzioni goniometriche singole di primo grado, risulta facile (per la proprietà di linearità) integrare le somme trovate applicando la 3 o la 4.
 
*abbassare significa ridurre l’esponente di 1
 
Separaz
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Se alfa non dovesse essere intero, non c’è garanzia di poter calcolare un integrale seguendo le procedure elementari. Però esistono modi per la risoluzioni di integrali particolari di funzioni irrazionali come sqrt ( 1 – x^2 ) 1/ sqrt(1 – x^2) sqrt ( 1 + x^2) , che portano a funzioni inverse delle circolari e l’ultima dà una funzione inversa delle iperboliche. Più in generale gli integrali in questione sono del tipo sqrt ( ax^2 + bx + c), risolubili per qualunque valore reale di a, b, c, i quali, a seconda del discriminante del polinomio di secondo grado, condurranno con veloci operazioni aritmetiche, agli integrali immediati 5 , 6 , 7
Vedere [[Integrazioni immediate]]
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Calcolare l’integrale di int(sqrt(cos(x)^3), x)
 
[[File:Documents and Settings\andrea\Documenti\testeq 2.mw]]
 
 
Osservando però la figura I, la funzione integranda è discontinua in un numero infinito di punti e presenta un numero infinito di soluzioni, che sono classificate come punti di discontinuità. Il suo dominio infatti è a intervalli alternati di ampiezza pi e….
Essendo discontinua in un numero non quantificabile di punti, non è possibile applicare le regole di integrazione immediate viste precedentemente, quindi non sarà possibile neanche ottenere un valore approssimato dell’integrale. Anche la procedura di Taylor è risultata inadeguata, può funzionare solo se si vuole calcolare approssimativamente il valore dell’integrale in un solo intervallo, preferibilmente su , dove f è continua.
 
Vedere Teoremi di integrazioni di funzioni continue
 
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Es 54
Ci sono due funzioni e si può considerare cos(x) sarebbe la derivata della funzione sin(x) se non comparisse l’esponente 3.
 
 
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Esse sono:
 
cosec(x) = 1/ sin (x)
Sec = 1/ cos(x)
Cotan = 1 / tan(x)
Cotg
 
Quindi questo paragrafo si occupa del caso in cui l’esponente α di una funzione singola è intero e negativo. I
 
Quindi questo paragrafo si occupa del caso in cui l’esponente α di una funzione singola è intero e negativo. I
Calcolare int 1/cosx