Analisi matematica/Integrazioni di funzioni goniometriche: differenze tra le versioni
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Integrare una funzione goniometrica significa svolgere un qualsiasi integrale di funzione razionale, ma può non risultare immediato. Le combinazioni di funzioni goniometriche sono utilizzate in applicazioni fisiche, come il moto armonico, descritto dalla legge f(t) = A*cos(ωt+φ), detta equazione d'onda, dove A,ω e φ sono costanti. Verranno distinti vari casi, poiché negli integrali non si procede mai per regola generale, ma per deduzione, analizzando il tipo di funzione integranda e applicando le regole note di integrazione immediata nonché le formule di risoluzione degli integrali. Ricordando allora le regole di integrazione notevoli:▼
▲Integrare una funzione goniometrica significa svolgere un qualsiasi integrale di funzione razionale, ma può non risultare immediato. Le combinazioni di funzioni goniometriche sono utilizzate in applicazioni fisiche, come il moto armonico, descritto dalla legge f(t) = A*cos(ωt+φ), detta equazione d'onda, dove A,ω e φ sono costanti. Verranno distinti vari casi, poiché negli integrali non si procede mai per regola generale, ma per deduzione, analizzando il tipo di funzione integranda e applicando le regole note di integrazione immediata nonché le formule di risoluzione degli integrali.
Integrazione di funzioni circolari singole▼
Ricordando allora le regole di integrazione notevoli:
1
2
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▲== Integrazione di funzioni circolari singole ==
Si vuole calcolare, come nell'esempio precedente, un integrale di un onda armonica descritta dalla legge fisica citata. La variabile di integrazione è t e la funzione integranda è composta, ma l'argomento interno è semplicemente una somma di costanti, il chè non dà problemi.
Requisito fondamentale è la conoscenza delle formule di integrazione immediata delle funzioni circolari seno e coseno. 3 4
Allora l'integrale richiesto è, applicando rapidamente la 2 e la 4 .....
Risulta più complicato calcolare un integrale in cui la funzione goniometrica presenta un esponente maggiore di 1. Integrazione di funzioni del tipo ....... con α intero e positivo.
Esempio. Calcolare l'integrale di cos^3 (x). E' evidente che non è immediato, non è possibile applicare nessuna formula diretta. Procediamo allora per parti .
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'''Regola pratica generale'''.
Per risolvere gli integrali di questo tipo occorre scindere la funzione circolare isolando sempre il termine ci secondo grado, elevandolo all’opportuna potenza e occasionalmente moltiplicarlo per un altro termine di primo grado, se l’esponente della funzione integranda è dispari.
Per poter integrare è necessario sviluppare la potenza ed applicare con iterazione le formule di bisezione, per abbassare* i termini di secondo grado. Una volta ridotti tutti i termini del prodotto a primo grado, è possibile ricorrere alle formule di Werner più volte per spezzare tutti i prodotti di funzioni goniometriche in somme. Dopodiché , rimanendo un unico integrale di una somma di funzioni goniometriche singole di primo grado, risulta facile (per la proprietà di linearità) integrare le somme trovate applicando la 3 o la 4.
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Separaz
Se alfa non dovesse essere intero, non c’è garanzia di poter calcolare un integrale seguendo le procedure elementari. Però esistono modi per la risoluzioni di integrali particolari di funzioni irrazionali come sqrt ( 1 – x^2 ) 1/ sqrt(1 – x^2) sqrt ( 1 + x^2) , che portano a funzioni inverse delle circolari e l’ultima dà una funzione inversa delle iperboliche. Più in generale gli integrali in questione sono del tipo sqrt ( ax^2 + bx + c), risolubili per qualunque valore reale di a, b, c, i quali, a seconda del discriminante del polinomio di secondo grado, condurranno con veloci operazioni aritmetiche, agli integrali immediati 5 , 6 , 7
Vedere [[Integrazioni immediate]]
Quindi condizione sufficiente per risolvere un integrale elementarmente è che la radice dell’integranda sia quadrata e che il radicando sia un [[polinomio]] di secondo grado. Negli altri casi non è garantito un risultato secondo le tecniche elementari. Non è escluso, ma la probabilità è bassa di poter risolvere un integrale che non rientri in questa categoria senza ricorrere a [[metodi numerici]].
Dato che il radicando non è un polinomio, si può sviluppare in serie di Taylor al secondo ordine e ottenere un valore che si discosta da quello esatto di un infinitesimo di ordine 2, applicando la [[formula di Taylor con il resto di Lagrange]].
Calcolare l’integrale di cos^3 sqrt▼
Osservando la figura I, la funzione integranda è discontinua in un numero infinito di punti e presenta un numero infinito di soluzioni, che sono classificate come punti di discontinuità. Il suo dominio infatti è a intervalli alternati di ampiezza pi e….▼
Sviluppo in serie di Taylor al second'ordine:
>
> taylor(cos(x)^3, x, 3);
print(`output redirected...`); # input placeholder
3 2 / 3\
1 - - x + O\x /
2
> int(sqrt(1-(3/2)*x^2), x);
print(`output redirected...`); # input placeholder
(1/2)
1 / 2\ 1 (1/2) /1 (1/2) \
- x \4 - 6 x / + - 6 arcsin|- 6 x|
4 6 \2 /
La (2) è l'integrale sviluppato in serie di Taylor con il resto di Lagrange.
>
> plot(sqrt(cos(x)^3), x, -5 .. 5);
%;
[ 1 1 ]
D = [- - Pi, - Pi] + 2 kπ
[ 2 2 ]
▲Osservando però la figura I, la funzione integranda è discontinua in un numero infinito di punti e presenta un numero infinito di soluzioni, che sono classificate come punti di discontinuità. Il suo dominio infatti è a intervalli alternati di ampiezza pi e….
Essendo discontinua in un numero non quantificabile di punti, non è possibile applicare le regole di integrazione immediate viste precedentemente, quindi non sarà possibile neanche ottenere un valore approssimato dell’integrale. Anche la procedura di Taylor è risultata inadeguata, può funzionare solo se si vuole calcolare approssimativamente il valore dell’integrale in un solo intervallo, preferibilmente su , dove f è continua.
Vedere Teoremi di integrazioni di funzioni continue
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Integrazione di prodotti di funzioni goniometriche▼
▲== Integrazione di prodotti di funzioni goniometriche ==
La risoluzione di questa classe di integrale risulta più semplice di quella con funzioni singole, ma vediamo qualche esempio per chiarire.
Esempio
Applicando le formule di Werner, l’integrale è risolubile immediatamente
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Integrazione di funzioni circolari fratte▼
▲== Integrazione di funzioni circolari fratte ==
Per calcolare integrali di questo tipo, sebbene le funzioni siano sempre circolari, occorre sfruttare altri metodi differenti da quelli esplicitati prima.
Innanzitutto le funzioni circolari fratte non sono altro che le reciproche di quelle note.
Esse sono:
cosec = 1 Sec
Cotg
Quindi questo paragrafo si occupa del caso in cui l’esponente
Calcolare int 1/cosx
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