Analisi complessa/Integrale di Riemann: differenze tra le versioni
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Ricordiamo per cominciare la definizione dell''''integrale di Riemann''', oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di <math>\R</math>.▼
▲Ricordiamo per cominciare la definizione dell''''integrale di Riemann''', oltre a qualche teorema.
;Definzione 4.1.1.:Sia dato un intervallo <math>[a,b]</math>, con<math>a \leq b \in \R</math>. Si definisce '''partizione''' di <math>[a,b]</math>▼
▲;Definzione 4.1.1.:Sia dato un intervallo <math>[a,b]</math>, con<math>a \leq b \in \R</math>. Si definisce '''partizione''' di <math>[a,b]</math> un insieme finito di punti,<math>P</math>, tali che
::<math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b</math>
:Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1\!</math>.▼
▲Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1\!</math>.
Se ora <math>f</math> è una funzione reale limitata definita su <math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di <math>[a,b]</math> poniamo
*<math>M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad</math>
*<math>U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i </math>
*<math>\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)</math>
dove <math>\inf, \sup</math> sono calcolati al variare di tutte le partizioni di <math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente '''integrale di Riemann superiore''' e '''inferiore'''.
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