Analisi complessa/Serie trigonometriche: differenze tra le versioni
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;Definizione 2.6.1.:Sia
::<math>\mathbb{T}=\{z\in\C:|z|=1\}</math>
:il '''cerchio unitario''' nel piano complesso; se <math>F:\mathbb{T} \rightarrow \C</math> è una qualsiasi funzione definita su <math>\mathbb{T}</math>, la funzione definita su <math>\R</math> come <math>f(t)=F(e^{it})</math> è una '''funzione periodica''' di periodo <math>2\pi</math>. Viceversa, ad ogni funzione periodica su <math>\R</math> di periodo <math>2\pi</math> corrisponde una funzione <math>F</math> definita su <math>\mathbb{T}</math> .
;Definizione 2.6.1:Sia <math>C(\mathbb{T})</math> l'insieme di tutte le funzioni continue definite su <math>\mathbb{T}</math> (o equivalentemente delle funzioni su <math>\R</math> continue e <math>2\pi</math>-periodiche).
Definendo il prodotto interno
<math>C(\mathbb{T})</math> è uno spazio '''pre-Hilbertiano''', ma non è completo.
In effetti, <math>C(\mathbb{T})</math> è completo rispetto alla norma dell'estremo superiore,
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che però non deriva da un prodotto scalare e non permette di strutturare <math>C(\mathbb{T})</math> come uno spazio con prodotto interno.
Per ottenere una struttura Hilbertiana su <math>\mathbb{T}</math> è necessario concepire un integrale più generale di quello di '''Riemann-Stieltjes''', e considerare l'insieme delle funzioni al quadrato integrabile ,<math>L^{2}\left(\mathbb{T}\right)</math>, con prodotto scalare
si può dimostrare che questo spazio è completo.
==Polinomi trigonometrici==
;Definizione 2.6.2:Consideriamo gli insiemi ortonormali in <math>C(\mathbb{T})</math>,
:
definiamo quindi i '''polinomi trigonometrici''' come le combinazioni lineari finite di elementi delle due basi, rispettivamente
\left(a_{k}\frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}+b_{k}\frac{\sin kx}
{\sqrt{\pi}}\right)\qquad P_{N}(x)=\sum_{n=-N}^{N} c_{n} \frac{e^{i nx}}{\sqrt{2\pi}}
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;Corollario 2.6.4:Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel caso generale di uno spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione <math>f \in L^{2}(\mathbb{T})</math> definiamo i suoi coefficienti di Fourier
:allora vale l'uguaglianza di Parseval
:e il teorema di Riesz-Fischer: per ogni sequenza di numeri complessi <math>\left\{c_n\right\}</math> sommabile in modulo quadro vi è una funzione in <math>L^{2}(\mathbb{T})</math> per la quale
::<math>c_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{e^{-i nt}}{\sqrt{2\pi}}dt</math>.▼
▲:<math>c_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{e^{-i nt}}{\sqrt{2\pi}}dt</math>.
[[Categoria:Analisi complessa|Serie Trigonometriche]]▼
▲[[Categoria:Analisi complessa|Serie Trigonometriche]]
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