Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier: differenze tra le versioni

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'''3.1.Definizione e proprieta'''
 
;Definizione 3.1.1.:Sia <math>L^{1}(R)</math>l'insieme di tutte le funzioni a modulo integrabile su <math>\R</math>,
::<math>L^{1}(\R)=\left\{ f:\R \rightarrow \C, \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|dt < \infty\right\} </math>.
 
Sia <math>f \in L^{1}(\R)</math> , definiamo la '''trasformata di Fourier''' di <math>f</math> come la funzione
 
:<math>\hat{f} (\lambda) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i \lambda x} dx </math></center>
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definiamo poi l' '''antitrasformata''' di Fourier la funzione
 
:<math>\check{g}(x)}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(\lambda) e^{i \lambda x} d \lambda </math>
 
Sotto opportune ipotesi,
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;TEOREMA 3.1.2.:
 
Sotto opportune ipotesi di regolarità, per le funzioni <math>f,f_1,f_2\in L^{1}(\R)</math>e le loro trasformate
<math>\hat{f},\hat{f_1},\hat{f_2}</math> valgono le seguenti proprietà algebriche:
:Siano <math>a,b \in \C, k \in \R</math>: