Analisi complessa/Operatori lineari in H: differenze tra le versioni
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→Operatore lineare: fix |
→Norme di operatori: fix |
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==Norme di operatori==
;Definizione:
::<math> \Vert L \Vert _{\mathcal{B}(H)}=\sup_{x\neq0}\frac{\Vert Lx \Vert }{\Vert x \Vert }=\sup_{x\neq0} \left\Vert L \frac{x}{\Vert x \Vert }\right\Vert =\sup_{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert </math>
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*<math>(\lambda L)x=\lambda Lx\!</math>.
;Teorema:<math>\Vert \cdot\Vert _{\mathcal{B}(H)}</math> è una norma, e <math>\mathcal{B}(H)</math>
;Teorema:Siano:
:*<math>H</math> uno spazio di Hilbert,
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:::<math>\sup_{\Vert x \Vert = 1 } \Vert L_n x -L x \Vert < \epsilon</math> .
:*'''Fortemente''' se
:*:<math>\forall x \in H\quad L_n x \rightarrow Lx</math> ,
::cioè se
:::<math>\forall \varepsilon > 0, x \in H
:*'''Debolmente''' se
:*:<math>\forall x,y \in H\;<L_{n}x,y>\
;Teorema:La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica a sua volta la convergenza debole, ma non vale il viceversa.
;Definizione 2.7.8.:Definiamo ''kernel'' (nocciolo) di un operatore <math>L \in \mathcal{L}(H)</math> l'insieme degli <math>x \in H</math> tali che <math>L x = 0</math>. Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.
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