Analisi complessa/Serie trigonometriche: differenze tra le versioni

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il '''cerchio unitario''' nel piano complesso;
se
<math>F:\mathbb{T} \rightarrow \C</math> e'è una qualsiasi funzione definita su <math>\mathbb{T}</math>, la funzione definita su <math>\R</math>
come <math>f(t)=F(e^{it})</math> e'è una '''funzione periodica''' di periodo <math>2\pi</math>
.Viceversa, ad ogni funzione periodica su <math>\R</math> di periodo <math>2\pi</math> corrisponde una funzione <math>F</math> definita su <math>\mathbb{T}</math> .
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Definendo il prodotto interno
*<math><f , g>=\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \overline{g(t)}dt</math>
<math>C(\mathbb{T})</math> e'è uno spazio '''pre-Hilbertiano''', ma non e'è completo.
In effetti, <math>C(\mathbb{T})</math> e'è completo rispetto alla norma dell'estremo superiore,
:<math>\Vert f \Vert =\sup_{t \in [0,2\pi]} |f(t)| </math>,
che pero'però non deriva da un prodotto scalare e non permette di strutturare <math>C(\mathbb{T})</math> come uno spazio con prodotto interno.
Per ottenere una struttura Hilbertiana su <math>\mathbb{T}</math> e'è necessario concepire un integrale piu'più generale di quello di '''Riemann-Stieltjes''', e considerare l'insieme delle funzioni aal quadrato integrabile ,<math>L^{2}\left(\mathbb{T}\right)</math>, con prodotto scalare
*<math><f,g>=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}dt</math>
si puo'può dimostrare che questo spazio e'è completo.
 
==Polinomi trigonometrici==
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</math>
 
I polinomi trigonometrici sono densi in <math>C(\mathbb{T})</math>, sia considerando la convergenza uniforme che la convergenza in norma due.Quindi gli insiemi ortonormali sopra definiti sono sistemi ortonormali massimali; anche i polinomi trigonometrici a coefficienti razionali (che sono numerabili) sono densi in <math>L^{2}(\mathbb{T})</math>, ne segue che <math>L^{2}(\mathbb{T})</math> e'è '''separabile'''.
 
;Corollario 2.6.4:Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel caso generale di uno spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione <math>f \in L^{2}(\mathbb{T})</math> definiamo i suoi coefficienti di Fourier
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*<math>\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}</math>
e il teorema di Riesz-Fischer: per ogni sequenza di numeri complessi
<math>\left\{c_n\right\}</math> sommabile in modulo quadro vi e'è una funzione in
<math>L^{2}(\mathbb{T})</math> per la quale
:<math>c_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{e^{-i nt}}{\sqrt{2\pi}}dt</math>.
[[Categoria:Analisi complessa|Serie Trigonometriche]]
 
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