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Analisi complessa/Operatori lineari in H: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
==Operatore lineare==
;Definizione 2.7.1:Definiamo <math>\mathcal{L}(H)</math> l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert <math>H</math> in se stesso,
:<math> \mathcal{L}(H)=\{ L:H\rightarrow H ; x,y \in H, \quad\alpha,\beta \in C \Rightarrow L(\alpha x + \beta y)=\alpha Lx + \beta Ly\} </math>.
</math>.
 
Un operatore lineare si dice
*'''continuo'''
*:se <math> \forall x_0 \in H ,\forall\epsilon>0: \exists\delta>0:\Vert x-x_0 \Vert <\delta\Rightarrow \Vert Lx-Lx_0 \Vert < \epsilon ;</math>
 
*'''limitato''' se
*:<math>\exists k>0:\forall x \in H \Vert Lx \Vert < k \Vert x \Vert </math> .
 
Per un operatore <math>L \in \mathcal{L}(H)</math>le seguenti affermazioni sono equivalenti:
*<math>L</math> è continuo in <math>0</math>;
*<math>L</math> è continuo in tutto <math>H</math>;
*<math>L</math> è limitato <math>\forall {x_n} :x_n \rightarrow \bar{x} \Rightarrow Lx_n\rightarrow L \bar{x}</math>
 
==Norme di operatori==
*<math>L</math> e' continuo in <math>0</math>;
 
*;Definizione:Definiamo <math>L\mathcal{B}(H)</math> el'insieme continuodegli inoperatori tuttolineari limitati su <math>H</math>; definiamo
 
*<math>L</math> e' limitato <math>\forall {x_n} :x_n \rightarrow \bar{x} \Rightarrow Lx_n\rightarrow L \bar{x}</math>
 
=Norme di operatori=
 
;Definizione:Definiamo <math>\mathcal{B}(H)</math> l'insieme degli operatori lineari limitati su <math>H</math> ; definiamo
::<math> \Vert L \Vert _{\mathcal{B}(H)}=\sup_{x\neq0}\frac{\Vert Lx \Vert }{\Vert x \Vert }=\sup_{x\neq0} \left\Vert L \frac{x}{\Vert x \Vert }\right\Vert =\sup_{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert </math>
 
<math>\mathcal{B}(H)</math> e'è uno spazio vettoriale su <math>\C</math> , ponendo
*<math>(L_1+L_2)x=L_1x+L_2x\!</math>
*<math>(\lambda L)x=\lambda Lx\!</math>.
 
;Teorema:<math>\Vert \cdot\Vert _{\mathcal{B}(H)}</math> e' una norma, e <math>\mathcal{B}(H)</math> e' completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
;Teorema:<math>\Vert \cdot\Vert _{\mathcal{B}(H)}</math> è una norma, e <math>\mathcal{B}(H)</math> e' completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
;Teorema:Siano:
:*<math>H</math> uno spazio di Hilbert,
Line 35 ⟶ 31:
:*<math> \left\{\alpha_n\right\} </math> una successione in <math>\C</math> con <math>\sum_{n} |\alpha_{n}| \leq K<\infty</math>
:Allora l'applicazione
:*:<math> x \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n x_n y_n</math>
</math>
:è lineare e continua.
 
;Definizione2.7.6.:Consideriamo una successione di operatori
::<math> \left\{L_n\right\} \subseteq \mathcal{L}(H)</math>
:Diciamo che <math>L_n \rightarrow L</math>
:*'''In norma''' se
:*:<math> \forall \varepsilon > 0 \exists N : n > N \Rightarrow \Vert L_n - L \Vert _{\mathcal{B}(H)}< \varepsilon</math> ,
::cioè se
:::<math>\sup_{\Vert x \Vert = 1 } \Vert L_n x -L x \Vert < \epsilon</math> .
:*'''Fortemente''' se
:*:<math>\forall x \in H L_n x \rightarrow Lx</math> ,
::cioè se
:::<math>\forall \varepsilon > 0, x \in H \exists N_x:n>N_n \Rightarrow \Vert L_n x - Lx \Vert <\varepsilon</math>
:*'''Debolmente''' se
:*:<math>\forall x,y \in H\;<L_{n}x,y>\rightarrow <Lx,y></math>.
 
;Teorema:La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica la convergenza debole, ma non viceversa.
*'''In norma''' se
::<math> \forall \varepsilon > 0 \exists N : n > N \Rightarrow \Vert L_n - L \Vert _{\mathcal{B}(H)}< \varepsilon</math> ,
:cioè se
::<math>\sup_{\Vert x \Vert = 1 } \Vert L_n x -L x \Vert < \epsilon</math> .
*'''Fortemente''' se
::<math>\forall x \in H L_n x \rightarrow Lx</math> ,
:cioè se
::<math>\forall \varepsilon > 0, x \in H \exists N_x:n>N_n \Rightarrow \Vert L_n x - Lx \Vert <\varepsilon</math>
 
*'''Debolmente''' se
::<math>\forall x,y \in H\;<L_{n}x,y>\rightarrow <Lx,y></math>.
 
;Teorema:La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica
la convergenza debole, ma non viceversa.
 
;Definizione 2.7.8.:Definiamo ''kernel'' (nocciolo) di un operatore <math>L \in \mathcal{L}(H)</math> l'insieme degli <math>x \in H</math> tali che <math>L x = 0</math>. Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.
:Definiamo '''rango''' di un operatore l'insieme degli <math>y \in H</math> tali che <math> L x = y</math> per qualche <math>x \in H</math>:
 
::<math>\ker L = \left\{ x \in H:L x = 0\right\} </math>
 
::<math>r(L)=\left\{ y\in H:\exists x\in H:Lx=y\right\}</math>
Definiamo '''rango''' di un operatore l'insieme degli <math>y \in H</math>
tali che <math> L x = y</math> per qualche <math>x \in H</math>:
 
:<math>\ker L = \left\{ x \in H:L x = 0\right\} </math>
 
:<math>r(L)=\left\{ y\in H:\exists x\in H:Lx=y\right\}</math>
 
==Operatori aggiunti==
Line 77 ⟶ 63:
::<math>\Vert L^{\star} \Vert _{\mathcal{B}}=\Vert L\Vert _{\mathcal{B}}</math>
:e
::<math>(L^{\star})^{\star}=L</math>.
 
.
Nel caso finito-dimensionale, per <math>\C^{N}</math>, si puo' mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici, <math>A=(a_{ij})</math>, con <math>a_{ij} \in \C</math>, in modo tale che
:<math>L \mathbf{x} =A\mathbf{x}=\sum_{ij} a_{ij}x_{j} \hat{e}_i</math>,
dove <math>\hat{e}_i</math> sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti <math>x_i</math> dei vettori dello spazio.
 
 
Inoltre, con il prodotto scalare definito come
:<math>(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{i}x_i\overline{y_i}</math>, e' facile mostrare che
è facile mostrare che <math>L^{\star}</math> e'è rappresentato dalla '''matrice aggiunta'''
:<math>A^{\star}=(\overline{a_{ji}})</math>
.
 
==Operatori compatti==
 
Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).
 
;Definizione 2.7.11.:Sia <math>A \subseteq X</math>, dove <math>X</math> e'è uno spazio metrico.
:<math>A</math> si dice '''compatto''' se per ogni successione
::<math>\left\{x_n\right\} \subseteq A</math>
:esiste una sottosuccessione che converge ad un punto <math>x \in A</math>.
:Un insieme si dice '''chiuso''' se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura <math>\bar{A}</math> di un insieme <math>A</math> è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente <math>\bar{A}=A</math> se <math>A</math> è chiuso.
 
:Un insieme si dice '''precompatto''' se la sua chiusura è compatta.
 
Un insieme si dice '''chiuso''' se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura <math>\bar{A}</math> di un insieme <math>A</math> è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente <math>\bar{A}=A</math> se <math>A</math> e' chiuso.
 
 
Un insieme si dice '''precompatto''' se la sua chiusura e' compatta.
 
;TEOREMA 2.7.12:Sia <math>A \subseteq J</math> dove <math> J </math> è uno spazio normato; allora se
<math> A </math> e'è compatto, e'è anche chiuso e limitato (<math>\exists K>0:\Vert x \Vert _J<K \forall x\in A</math>).
 
Se <math> J=\R^N,\C^N </math> (finito-dimensionale) <math>A\subseteq J</math> è compatto se e solo se e'è chiuso e limitato.
 
;Teorema di Bolzano-Weierstrass:In <math>\C^{N}</math> ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.
Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente '''teorema''':
;Teorema:Sia <math>H</math> spazio di Hilbert, con <math>\dim H=\infty</math>,allora l'insieme <math>S=\left\{ x:\Vert x \Vert =1\right\} </math> è chiuso e limitato ma non compatto.
<math>S=\left\{ x:\Vert x \Vert =1\right\} </math> è chiuso e limitato ma non compatto.
 
Siamo ora pronti a definire la nozione di operatori compatti.
operatori compatti.
 
;Definizione 2.7.16:Un operatore <math>L \in \mathcal{L}(H)</math> si dice '''compatto''' se per <math>\forall C\subseteq H</math> limitato, <math>L(C)</math> è precompatto; in altre parole, se
*:<math>\forall x_n \in H ,\Vert x_n \Vert < K\quad\exists \left\{ x_{n_k} \right\} : \left\{ L x_{n_k} \right\} </math> converge.
 
;TEOREMA 2.7.17.:Se <math>\dim r(L) <\infty</math>, <math>L</math> e'è compatto.
:Se <math>H</math> è separabile, ogni operatore compatto è limite in norma di una successione di operatori <math>A_n</math> con <math>\dim r(A_n) <\infty </math>.
 
Se <math>H</math> e' separabile, ogni operatore compatto e' limite in norma di una successione di operatori <math>A_n</math>
con <math>\dim r(A_n) <\infty </math>.
 
==Spettro di operatori==
 
;Definizione 2.7.18.:Definiamo il prodotto di due operatori
*::<math>L_1 , L_2 \in \mathcal{B}(H)</math>
:come
*::<math>(L_1 L_2) x = L_1(L_2 x) \forall x \in H</math>.
 
È facile notare che
:<math>\Vert L_1 L_2 \Vert \leq \Vert L_1 \Vert \Vert L_2 \Vert </math>.
 
Questo fatto, unito alla completezza di <math>\mathcal{B}(H)</math> ed alla presenza di un funzionale lineare continuo
Questo fatto, unito alla completezza di <math>\mathcal{B}(H)</math> ed alla presenza di un funzionale lineare continuo <math>E:x \rightarrow x</math> tale che
<math>E:x \rightarrow x</math>
tale che
:<math>LE=EL=L : \forall L\in\mathcal{B}(H)</math>
e
:<math>\Vert E \Vert =1</math>
fa di <math>\mathcal{B}(H)</math> un' '''algebra di Banach'''.
 
Definiamo l' '''operatore inverso'''di un operatore <math>L:H \rightarrow H</math> l'operatore <math>L^{-1}</math> tale che
:<math>\forall y \in H L^{-1}y=x\iff Lx=y</math>
l'operatore
L'operatore inverso esiste se e solo se <math>L</math> è biunivoco: se <math>L</math> non fosse suriettivo, <math>L^{-1}</math> non sarebbe definito per qualche <math>y \in H</math>, e se non fosse iniettivo, <math>L x_1 = L x_2 = y</math> e quindi <math>L^{-1}y</math> non sarebbe univocamente definito;
*<math>L^{-1}</math> tale che <math>\forall y \in H L^{-1}y=x\iff Lx=y</math>; l'operatore inverso esiste se e solo se
:<math>L^{-1}L=LL^{-1}=E</math>
<math>L</math> è biunivoco: se <math>L</math> non fosse suriettivo, <math>L^{-1}</math> non sarebbe definito per qualche <math>y \in H</math>, e se non fosse iniettivo, <math>L x_1 = L x_2 = y</math> e quindi <math>L^{-1}y</math> non sarebbe univocamente definito;
L'inversa di un'applicazione lineare è lineare.
*<math>L^{-1}L=LL^{-1}=E</math>.
L'inversa di un'applicazione lineare e' lineare.
 
==Teorema della mappa aperta==
Siano <math>G</math> e <math>W</math> due spazi di Banach su <math>\C</math>, e <math>L:G\rightarrow W</math> lineare. Se
<math>L:G\rightarrow W</math> lineare.
Se
:<math>L(G)=W</math>(se <math>L</math> è suriettiva)
allora sia
:<math>S_G\subseteq G=\left\{ x \in G: \Vert x \Vert \leq 1\right\} </math>
la sfera unitaria in <math>G</math>, allora
:<math>\delta S_W\subseteq L(S_G)</math>
, dove <math>\delta S_W</math> è la sfera di raggio <math>\delta>0</math> in <math>W</math>.
.
 
;Corollario.:Se <math>L\in\mathcal{B}(H)</math> ed è biunivoca, allora
::<math>\Vert Lx \Vert \geq \delta \Vert x \Vert </math>;
ed e' biunivoca, allora
:pertanto
:<math>\Vert Lx \Vert \geq \delta \Vert x \Vert </math>;
::<math>\Vert x \Vert = \Vert LL^{-1}x \Vert \geq \delta \Vert L^{-1}x\Vert </math>
pertanto
:quindi
:<math>\Vert x \Vert = \Vert LL^{-1}x \Vert \geq \delta \Vert L^{-1}x\Vert </math>
::<math>\Vert L^{-1}x \Vert \leq 1 \delta \Vert x \Vert </math>
quindi
:e dunque
:<math>\Vert L^{-1}x \Vert \leq 1 \delta \Vert x \Vert </math>
::<math>L^{-1} \in \mathcal{B}(H)</math>.
e dunque
:<math>L^{-1} \in \mathcal{B}(H)</math>
.
''';Definizione di spettro.'''
:Definiamo lo ''spettro'' <math>\sigma(L)</math> di un operatore <math>L\in\mathcal{B}(H)</math> come l'insieme dei <math>\lambda \in \C</math> tali che
::<math>L - \lambda E\!</math>
:non ammette inverso continuo.
 
Se esiste un vettore <math>v\neq 0</math> tale che per un <math> \bar {\lambda} \in \sigma (L)</math> vale che <math>Lv- \bar {\lambda} v=0</math> (in altri termini se <math>\ker(L-\bar {\lambda} E)\neq 0 </math>) si dice che <math>\bar{\lambda}</math> è un '''autovalore''' di <math>L</math>. L'insieme degli autovalori si dice '''spettro discreto''' <math>\sigma_D (L)</math>;chiaramente <math>\sigma_D \subseteq \sigma</math> .
 
Se esiste un vettore <math>v\neq 0</math> tale che per un <math> \bar {\lambda} \in \sigma (L)</math>
vale che <math>Lv- \bar {\lambda} v=0</math>
(in altri termini se <math>\ker(L-\bar {\lambda} E)\neq 0 </math>) si dice che <math>\bar{\lambda}</math>
e' un '''autovalore''' di <math>L</math>.
L'insieme degli autovalori si dice '''spettro discreto''' <math>\sigma_D (L)</math>;
chiaramente <math>\sigma_D \subseteq \sigma</math> .
 
;TEOREMA 2.7.23:Per ogni operatore <math>L\in\mathcal{B}(H)</math>,<math>\sigma (L)</math> è chiuso e limitato.
 
;TEOREMA 2.7.24:Sia <math>T \in \mathcal{L} (H)</math> operatore compatto. Allora e'è vero che:
:*<math>\forall\lambda\neq 0 \dim \ker(T-\lambda I)<\infty</math>
 
:*Se <math> \dim H = \infty</math> allora <math>0 \in \sigma(T)</math>
 
:*<math>\forall S \in \mathcal{B}(H)</math>
:*sia <math>ST</math> che <math>TS</math> sono compatti.
 
;TEOREMA 2.7.25.:Sia <math>T \in \mathcal{L}(H)</math> operatore compatto. Per ogni <math>n>0</math> esiste solo un numero finito di elementi di <math>\sigma(T)</math> che siano maggiori di <math>0</math> ; in altri termini gli elementi dello spettro sono al piu' numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione e' lo <math>0</math>.Inoltre <math>\sigma(T)=\sigma_D (T)</math>.
 
;TEOREMA 2.7.25.:Sia <math>T \in \mathcal{L}(H)</math> operatore compatto. Per ogni <math>n>0</math> esiste solo un numero finito di elementi di <math>\sigma(T)</math> che siano maggiori di <math>0</math> ; in altri termini gli elementi dello spettro sono al piu' numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo <math>0</math>.Inoltre <math>\sigma(T)=\sigma_D (T)</math>.
;Operatori autoaggiunti.:Un operatore si dice '''autoaggiunto''' se <math>L^{\star}=L</math>.Se <math>L \in \mathcal{B}(H)</math>e' autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti
sono ortogonali.
 
;Operatori autoaggiunti.:Un operatore si dice '''autoaggiunto''' se <math>L^{\star}=L</math>.Se <math>L \in \mathcal{B}(H)</math>è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.
 
;Teorema:Se <math>T \in \mathcal{B}(H)</math> è compatto ed autoaggiunto, e <math>H</math> è separabile, allora gli autovettori di <math>T</math> costituiscono una base Hilbertiana per <math>H</math>.
.
 
[[Categoria:Analisi complessa|Operatori lineari in H]]
{{Avanzamento|75%|28 febbraio 2009}}
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Operatori_lineari_in_H"