Analisi complessa/Calcolo dei residui: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
→Teorema: ri-fix |
m cambio avanzamento a 100% |
||
Riga 1:
{{Analisi complessa}}
;Definizione 1.6.1.
:Si rimanda alla definizione di singolarità isolata; per una singolarità isolata <math>z_0</math> di una funzione <math>f</math>, esiste sempre un [[w:Intorno|
==Teorema==
Dalla definizione dei coefficienti della serie di Laurent segue che, per un contorno <math>C</math> contenuto nell'intorno della singolarità
:<math>\int_{C}f(z)dz =2\pi i b_1\!</math>,
dove <math>b_1</math> è il coefficiente del termine <math>1/(z-z_0)</math> nella serie di Laurent.▼
▲dove <math>b_1</math> è il coefficiente del termine <math>1/(z-z_0)</math> nella serie di Laurent.
▲<br/>Si è soliti indicare il termine <math>b_1</math> della serie di Laurent di una funzione <math>f</math>, in un intorno di una sua singolarità isolata <math>z_0</math>, come residuo di <math>f</math>
===Teorema 1.6.3 (dei residui)===
▲:Sia <math>C</math> un contorno semplice chiuso orientato positivamente. Se una funzione <math>f</math> è analitica all'interno di <math>C</math> tranne che per un numero finito di singolarità isolate <math>z_{k}</math>, allora
▲::<math> \int_{C}f(z)dz =2\pi i\sum_{k=1}^{n} Res_{z =z_{k}}f(z)</math>
===Teorema 1.6.4===
:Se una funzione è olomorfa in <math>C</math>, eccetto che per un numero finito di punti singolari interni ad un contorno semplice chiuso <math>C</math> orientato positivamente, allora
===Definizione 1.6.5===▼
▲::<math>\int_{C} f(z)dz =2\pi i Res_{z =0} \left[\frac{1}{z^{2}} f\left(\frac{1}{z}\right)\right]</math>
È possibile classificare i punti singolari isolati di una funzione <math>f</math> studiando la forma del suo sviluppo di Laurent in un intorno di ciascun punto.
▲===Definizione 1.6.5===
▲È possibile classificare i punti singolari isolati di una funzione <math>f</math> studiando la forma del suo sviluppo di Laurent in un intorno di ciascun punto.<br/>
Si possono in particolare verificare tre casi:
# Tutti i coefficienti <math>b_n</math> delle potenze negative di <math>z-z_0</math> sono identicamente uguali a zero.In questo caso <math>z_0</math> si dice '''singolarità eliminabile''', perché la funzione diventa analitica in <math>z_0</math>; se si assegna <math>f(z_0)=a_0</math> (dove <math>a_0</math> è il termine di ordine zero nello sviluppo in serie).
# <math>b_{n}=0</math> per <math>n>m</math> e <math>b_{m} \neq 0</math>. In questo caso <math>z_0</math> si dice essere un '''polo di ordine <math>m</math>'''; un polo di ordine <math>1</math> si dice '''polo semplice'''.
Line 39 ⟶ 32:
I teoremi sviluppati fino a qui permettono di esprimere in modo semplice integrali lungo contorni che contengano punti singolari.
Resta però il problema di calcolare il coefficiente <math>b_1</math> della serie di Laurent; un primo approccio prevede la possibilità
Sono infine disponibili alcune formule che permettono di calcolare i residui in modo semplice in certi casi particolari.
Line 52 ⟶ 45:
:Si dice che una funzione <math>f</math> '''analitica'' in un punto <math>z_0</math> ha uno zero di ordine <math>m</math> in <math>z_0</math> se <math>f^{(n)}(z_0)=0\!</math> per <math>n<m</math> e <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>.<br/>Una funzione <math>f</math> analitica in <math>z_0</math> ha uno zero di ordine <math>m</math> se e solo se esiste una funzione <math>g(z)</math>, analitica e non nulla in <math>z_0</math>, tale che <math>f(z)=(z-z_0)^{m}g(z)\!</math> in un intorno di <math>z_0</math>.
;Corollario: Se <math>p</math> e <math>q</math> sono analitiche in <math>z_0</math>, <math>p(z_0)\neq 0</math>. <math>q(z_0)=0\!</math> e <math>q'(z_0)\neq 0</math> allora <math>z_0</math> è un polo semplice e
::<math>Res_{z =z_0}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_0)}{q'(z_0)}</math> ;Definizione.: Si dice che una funzione <math>f</math> è '''analiticà'' in un punto <math>z_0</math> ha uno zero di ordine <math>m</math> in <math>z_{0}</math> se <math>f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)=0</math> per <math>n<m</math> e <math>f^{\left(m\right)}\left(z_{0}\right)\ne0</math>.<br/>Una funzione <math>f</math> analitica in <math>z_{0}</math> ha uno zero di ordine <math>m</math> se e solo se esiste una funzione <math>g\left(z\right)</math>, analitica e non nulla in <math>z_{0}</math>, tale che <math>f\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)^{m}g\left(z\right)</math> in un intorno di <math>z_0</math>.
Line 62 ⟶ 55:
Se due funzioni <math>p</math> e <math>q</math> sono analitiche in <math>z_0</math>, <math>p\left(z_{0}\right)\ne0</math> e <math>q</math>ha in <math>z_{0}</math> uno zero di ordine <math>m</math>, allora <math>p\left(z\right)/q\left(z\right)</math> ha un polo di ordine <math>m</math> in <math>z_{0}</math>.
;Corollario:Se <math>p</math> e <math>q</math> sono analitiche in <math>z_{0}</math>, <math>p\left(z_{0}\right)\ne0</math>. <math>q\left(z_{0}\right)=0\!</math> e <math>q'\left(z_{0}\right)\ne0</math> allora <math>z_{0}</math> è un polo semplice e
::<math> Res_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_0)}{q'(z_0)}</math> :Se <math>f</math> è analitica in un dominio <math>D</math>, ed <math>E</math> è l'insieme degli zeri di <math>f</math>, se <math>E</math> ha un punto di accumulazione in <math>D</math>, <math>f(z)=0</math> in tutto <math>D</math>.▼
;Corollario:Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.▼
▲Se <math>f</math> è analitica in un dominio <math>D</math>, ed <math>E</math> è l'insieme degli zeri di <math>f</math>, se <math>E</math> ha un punto di accumulazione in <math>D</math>, <math>f(z)=0</math> in tutto <math>D</math>.
▲;Corollario:Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.
;Teorema:Se <math>f</math> è analitica in un dominio <math>D</math>, ed <math>E</math> è l'insieme degli zeri di <math>f</math>, se <math>E</math> ha un punto di accumulazione in <math>D</math>, <math>f(z)=0</math> in tutto <math>D</math>.
;Corollario:Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.
[[Categoria:Analisi complessa|Calcolo dei Residui]]
{{Avanzamento|
|