Analisi complessa/Integrali nel campo complesso: differenze tra le versioni
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==Antiderivata==
;Definizione
:Esiste una correlazione stretta tra gli integrali di contorno nel campo complesso e quelli in <math>\R^{2}</math>; infatti è possibile usare una definizione di '''antiderivata''', che svolge una funzione analoga al potenziale nel caso reale.
Si dice '''antiderivata''' di una funzione <math>f:D\subseteq \C \rightarrow \C</math> continua una funzione <math>F</math> tale che <math>F'(z)=f(z)</math> in tutto il dominio <math>D</math>. L'antiderivata è unica a meno di una costante additiva.
===Teorema===
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===Teorema di Cauchy-Goursat===
Se una funzione <math>f</math> è analitica all'interno e sui punti di un cammino semplice chiuso <math>C</math>, allora
:<math>\int_{C}f(z)dz =0\!</math>. Questo teorema può essere provato facilmente, sotto ipotesi leggermente più forti (supponendo anche la continuità di <math>f'</math>), ricorrendo al '''Teorema di Green''':
===Teorema di Green===
:Se <math>Q(x,y)</math> <math>P(x,y)</math> e le loro derivate parziali sono continue su di un contorno <math>C</math> e sulla regione interna <math>R</math>, allora
::<math>\int_{C}Pdx+Qdy=\iint_{R}(Q_x-P_y)dA</math>
==Dominio semplicemente connesso==
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