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Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
==Funzione di variabile complessa==
;Definizione
:Una '''funzione di variabile complessa''' è una funzione
::<math>f:S \subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>
:dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.
 
;Osservazioni
:*Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math>, :perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della :funzioni in <math>\mathbb{R}^{2} </math>.<br/>Sia <math>\Phi</math> una funzione biunivoca che mappa <math>\mathbb{C}</math> in <math>\mathbb{R}^{2}</math>, ad esempio
:Sia *:<math>\Phi</math>:z una=x+i funzioney biunivoca\mapsto che mappa <math>\mathbbmathbf{Cw}</math> in <math>=x\mathbbmathbf{Ri}^+y\mathbf{2j}</math>, ad :esempio
:*Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa ▼
::<math>\Phi:z =x+i y \mapsto \mathbf{w}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}</math>
:come somma di due funzioni *:<math>\Phi(f:S)\subseteq \R^mathbb{2C} \rightarrow \Rmathbb{C}</math>▼
 
::come somma di due funzioni <math>\Phi(S)\subseteq\R^{2}\rightarrow \R</math>
▲*Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa
:::<math>f:S\subseteq(z=x+iy)=u(x,y)+i \mathbb{C} \rightarrowv(x,y) \mathbb{C},</math>
▲:come somma di due funzioni <math>\Phi(S)\subseteq\R^{2}\rightarrow \R</math>
::<math>f(z=x+iy)=u(x,y)+i v(x,y) \,</math>
==Limiti==
*I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di <math>\mathbb{C}</math>; scriviamo
::<math>\lim_{z \to z_0}f(z)=w \iff \forall\varepsilon>0\quad\exists \delta>0 : |z-z_0| <\delta\Rightarrow|f(z)-w|<\varepsilon</math>▼
 
I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un ''intorno'' di <math>\infty</math> come
▲::<math>\lim_{z \to z_0}f(z)=w \iff \forall\varepsilon>0\quad\exists \delta>0 : |z-z_0| <\delta\Rightarrow|f(z)-w|<\varepsilon</math>
:<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon},\varepsilon>0</math>
 
*I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un ''intorno'' di :<math>\lim_{z\to\infty</math}f(z)=w\iff\forall\varepsilon>0 come\quad\exists <math\delta>0:|z|>\frac{1}{\varepsilondelta}, \Rightarrow\ |f(z)-w|<\varepsilon>0</math>
::<math>\lim_{z \to z_0}f(z)=\infty \iff\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:|z-z_0|<\delta\Rightarrow |f(z)|>\frac{1}{\varepsilon}</math>▼
 
::<math>\lim_{z\to\infty}f(z)=w\iff\forall\varepsilon>0 \quad\exists \delta>0:|z|>\frac{1}{\delta} \Rightarrow\ |f(z)-w|<\varepsilon</math>
 
▲::<math>\lim_{z \to z_0}f(z)=\infty \iff\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:|z-z_0|<\delta\Rightarrow |f(z)|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
 
==Teoremi sui limiti==
===Teorema 1.2.2===
:Considerando
::<math>f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \,</math>
::<math>z_0=x_0+i y_0\!</math>
::<math>w_0=u_0+i y_0\!</math>
:si ha che:
::<math>\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0\iff\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0\qquad</math> e <math>\qquad \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0</math>
===Teorema 1.2.3===
 
Se
*:<math>\lim_{z\to z_0}f(z)= f_0</math> e <math>\lim_{z\to z_0}g(z)=g_0</math> ▼
 
:allora▼
▲*<math>\lim_{z\to z_0}f(z)= f_0</math> e <math>\lim_{z\to z_0}g(z)=g_0</math>
#<math>\lim_{z\to z_0}[f(z)+g(z)]=f_0+g_0</math>
▲:allora
:#<math>\lim_{z\to z_0}[f(z)+g(z)]=f_0+g_0f_0g_0</math>
:#<math>\lim_{z\to z_0}[f(z)/g(z)]=f_0g_0f_0/g_0</math>
:#per <math>g_0\lim_{z\to z_0}[f(z)/g(z)]=f_0/g_0neq0</math>
:per <math>g_0\neq0</math>
 
==Continuità==
;Definizione
:Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico.
:*Una funzione <math>f(z)</math> è '''continua''' in <math>z_0</math> se ▼
▲:*Una funzione <math>f(z)</math> è continua in <math>z_0</math> se
::<math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>
:sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.
 
:*Una funzione si dice continua in un insieme se e'è continua per ogni punto di quell'insieme.
 
==Teoremi sulla continuità==
===Teorema 1.2.5===
Una funzione <math>f(z)</math> è continua se e solo se le sue componenti <math>u</math> e <math>v</math> sono continue.
 
===Teorema 1.2.6===
 
La funzione composta da due funzioni continue e'è continua.
===Teorema 1.2.7===
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[[Categoria:Analisi complessa|Funzioni di variabile complessa]]
{{Avanzamento|100%|23 febbraio 2009}}
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