Differenze tra le versioni di "Analisi complessa/Numeri complessi"

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;Definizione 1.1.1.
:Definiamo l'insieme dei '''numeri complessi''' <math>\mathbb{C}</math> come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali <math>(x,y)\in\R^{2}</math> con somma e prodotto definiti come
::<math>(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \,</math>
::<math>(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_2y_1+x_1y_2) \,</math>
 
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(x,0)</math> ai numeri reali, e'è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
:<math>(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,</math>
 
dove ''i:'' = (0,1).
 
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero
:<math>z =\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \,</math>
 
Evidentemente per ''z'' = 0 la forma polare è mal definita. <math>\rho</math> è il '''modulo''' di <math>z</math> e <math>\theta</math> l' '''argomento''' <math>\theta=\arg z</math>, che è definito a meno di multipli interi di <math>2\pi</math>.
Il '''valore principale dell'argomento''' è il valore scelto in <math>(-\pi,\pi)</math>, <math>\arg z</math>.
 
Definendo poi tramite la formula di Eulero
:<math>e^ {i \theta }= \cos \theta + i \sin \theta\!</math>
(relazione che sara' sarà giustificata in seguito) avremo
:<math>z =\rho e^{i\theta}\!</math>
 
==Proprietà==
;Teorema 1.1.2
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+iy_1=\rho_1 e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+iy_2=\rho_2 e^{i\theta_1}</math>. Avremo:
#<math>\rho_1=|z_1| \,</math>
#<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math>
 
[[Categoria:Analisi complessa|Numeri complessi]]
 
{{Avanzamento|75100%|1023 febbraio 2009}}
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